(3,5) Determine, se existirem:
lim x 1^+ e^12-x f(x), sabendo que e^11-x^2+pi <= f(x) <= arccos 1-x^22 x-2 onde para todo x>1.

Passo 1

O enunciado nos pede o limite
limxto1^+ e^12-x,f(x),
sabendo que para x>1 vale
e^11-x^2+pi ;<=; f(x);<=;arccos!l(1-x^22x-2r)
O conteúdo envolve cálculo de limites, exponenciais, funções trigonométricas inversas e o teorema do confronto. Vamos:
  1. achar limxto1^+e^12-x;
  2. achar os limites das duas funções que servem de fronteira para f(x);
  3. aplicar o teorema do confronto para obter lim f(x);
  4. combinar tudo para obter o limite pedido.

Passo 2

Calculemos
limxto1^+ e^12-x.
Como xto1^+ implica 2-xto1, temos
12-x;longrightarrow;1 Longrightarrow e^12-x;longrightarrow;e^1 = e

Passo 3

Analisemos o limite inferior de f(x):
e^11-x^2+pi
Para xto1^+, x^2to1^+ e 1-x^2to0^-, então
11-x^2;longrightarrow;-infty Longrightarrow e^11-x^2;longrightarrow;0 Longrightarrow e^11-x^2+pi;longrightarrow;pi

Passo 4

Analisemos o limite superior de f(x):
arccos!l(1-x^22x-2r)
Reescrevendo o argumento:
1-x^22x-2 = -x^2-12(x-1) = -(x-1)(x+1)2(x-1) = -x+12 ;longrightarrow;-1
Logo
arccos!l(tfrac1-x^22x-2r);longrightarrow;arccos(-1)=pi

Passo 5

Pelo teorema do confronto, como
e^11-x^2+pi ;<=; f(x);<=;arccos!l(tfrac1-x^22x-2r)
e ambos os limites das fronteiras tendem a pi, segue
limxto1^+f(x)=pi.
Então, como
limxto1^+e^12-x=e e limxto1^+f(x)=pi, o produto tem limite
limxto1^+ e^12-x,f(x) = ecdotpi

Resposta

pi e

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