Determine, se existirem:
, sabendo que
onde para todo
.
Passo 1
O enunciado nos pede o limite
,
sabendo que para vale
sabendo que para
O conteúdo envolve cálculo de limites, exponenciais, funções trigonométricas inversas e o teorema do confronto. Vamos:
- achar
; - achar os limites das duas funções que servem de fronteira para
; - aplicar o teorema do confronto para obter
; - combinar tudo para obter o limite pedido.
Passo 2
Calculemos
.
Como implica
, temos
Como
Passo 3
Analisemos o limite inferior de
:
Para
,
e
, então
Passo 4
Analisemos o limite superior de
:
Reescrevendo o argumento:
Logo
Passo 5
Pelo teorema do confronto, como
e ambos os limites das fronteiras tendem a
, segue
.
Então, como
e
, o produto tem limite
Então, como