Exercício 4: A 1 / 2 de sua altura máxima, a velocidade de um projétil é 3 / 4 de sua velocidade inicial. Qual foi o ângulo de lançamento? (ignore a resistência do ar).

Passo 1

O enunciado diz que num lançamento de projétil, ao atingir metade da altura máxima, a velocidade escalar vale 3/4 da velocidade inicial. Queremos achar o ângulo de lançamento theta. O conteúdo envolve decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical, usar o fato de que a componente horizontal é constante e aplicar a equação de Torricelli vertical para o ponto onde y=H/2, sendo H a altura máxima.

Passo 2

Seja v a velocidade inicial, com componentes
vx = vcostheta, vy = vsintheta
A altura máxima é
H = vy^22g
No ponto em que y=H/2, pela equação de Torricelli para a componente vertical vale
vy^2 - 2gl(tfracH2r) = vy^2 - 2gvy^24g = vy^2 - vy^22 = vy^22
Logo, a componente vertical da velocidade tem magnitude raizvy^2/2, enquanto a horizontal permanece vx.

Passo 3

A velocidade resultante nesse ponto tem módulo
raizvx^2 + vy^22
e, pelo enunciado, isso é tfrac34v. Elevando ao quadrado e dividindo por v^2, obtemos
cos^2theta + 12sin^2theta = 916
Substituindo sin^2theta=1-cos^2theta,
cos^2theta + 12(1-cos^2theta) = 916 ;Longrightarrow; 12cos^2theta + 12 = 916 ;Longrightarrow; cos^2theta = 18

Passo 4

Daí
costheta = 12raiz2 Longrightarrow theta = arccos!l(tfrac12raiz2r) approx 69,3^circ

Resposta

theta = arccos!l(tfrac12raiz2r)approx 69,3^circ.

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