Questão 2) (3) Calcule a expressão de v(t) para um corpo de massa m e velocidade inicial V0, sujeito a uma força de retardo dado por |F|=k v^3 / 2, onde k é uma constante positiva. Use as condições iniciais: t=0, x=0 e v=V0. Qual o tempo necessário para que a velocidade caia pela metade?

Passo 1

O enunciado descreve um corpo de massa m que se move com velocidade inicial V0 e sofre uma força de retardo sempre oposta ao movimento, de módulo lvert Frvert = k,v^3/2. Para encontrar v(t), vamos usar a Segunda Lei de Newton e resolver a equação diferencial resultante, que é do tipo EDO separável.

Passo 2

Aplicando a Segunda Lei de Newton na direção do movimento, achamos que a força líquida é negativa (pois retarda):
m,dvdt = -,k,v^3/2
Essa é uma equação diferencial separável em v e t.

Passo 3

Separamos as variáveis:
dvv^3/2 = -km,dt
Integramos de v=V0 (em t=0) até v=v(t) (em t):
integralV0^v v^-3/2,dv = -kmintegral0^t dt
No lado esquerdo,
integral v^-3/2,dv = [-2,v^-1/2],
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l[-2,v^-1/2r]V0^v = -2l(v^-1/2-V0^-1/2r) = -km,t

Passo 4

Reescrevendo a igualdade,
2l(v^-1/2-V0^-1/2r) = km,t,
portanto
v^-1/2 = V0^-1/2 + k2m,t
Invertendo e elevando ao quadrado, obtemos a solução geral
v(t) = 1l(V0^-1/2 + tfrack2m,tr)^2

Passo 5

Para achar o tempo t1/2 em que v=V0/2, impomos
l(tfracV02r)^-1/2 = V0^-1/2 + k2m,t1/2
Como l(V0/2r)^-1/2 = raiz2,V0^-1/2, segue
raiz2,V0^-1/2 - V0^-1/2 = k2m,t1/2 Longrightarrow (raiz2-1),V0^-1/2 = k2m,t1/2
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t1/2 = 2mk,(raiz2-1),V0^-1/2

Resposta

A velocidade em função do tempo é
v(t) = 1l(V0^-1/2 + tfrack2m,tr)^2
e o tempo necessário para a velocidade cair à metade é
t1/2 = 2mk,(raiz2-1),1raizV0

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