Exercício: Cinco átomos que se movem ao longo do eixo x têm suas componentes x da velocidade dadas por: +2,1 \mathrm{~m} / \mathrm{s},-3,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s},+4,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s},-0,3 \mathrm{~m} / \mathrm{s},-3,1 \mathrm{~m} / \mathrm{s} (note que este é um problema em 1D; as demais componentes da velocidade são nulas). Determine:
a) A componente x da velocidade média.
b) A velocidade escalar média.
c) A velocidade r m s (root mean square, ou raiz da média do quadrado).

Passo 1

O enunciado dá as componentes x das velocidades de cinco átomos (problema unidimensional). As grandezas fornecidas são:
v_1 = +2,1\\ \mathrm{m/s},\quad v_2 = -3,2\\ \mathrm{m/s},\quad v_3 = +4,5\\ \mathrm{m/s},\quad v_4 = -0,3\\ \mathrm{m/s},\quad v_5 = -3,1\\ \mathrm{m/s}.
As perguntas são:
a) Determinar a componente x da velocidade média (média vetorial ao longo de x).
b) Determinar a velocidade escalar média (média dos módulos das velocidades).
c) Determinar a velocidade rms (root mean square, raiz da média dos quadrados das velocidades).

Passo 2

Vamos responder (a). Primeiro a fórmula da componente x da velocidade média: ela é a média aritmética das componentes x:
\bar v_x = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} v_{i},
onde N é o número de átomos (aqui N=5) e v_i é a componente x da velocidade do átomo i. Essa fórmula significa: some todas as componentes x e divida pelo número de partículas — o resultado é a componente média do vetor velocidade ao longo de x.
Agora calculamos a soma das velocidades:
\sum_{i=1}^{5} v_i = (+2,1) + (-3,2) + (+4,5) + (-0,3) + (-3,1).
Somando em pares para facilitar:
(+2,1)+(+4,5)=+6,6,
(-3,2)+(-0,3)+(-3,1) = -6,6.
Portanto
\sum_{i=1}^{5} v_i = +6,6 + (-6,6) = 0.
Logo a velocidade média é
\bar v_x = \frac{0}{5} = 0\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação física rápida: as velocidades positivas e negativas se cancelaram perfeitamente.

Passo 3

Agora (b): velocidade escalar média. Definição e fórmula: a velocidade escalar é o módulo da velocidade (em 1D é |v|). A velocidade escalar média é a média aritmética dos módulos:
\langle |v| \rangle = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} |v_i|.
Aqui N=5 e |v_i| é o valor absoluto da componente v_i.
Calculamos os módulos:
|v_1| = 2,1,\quad |v_2| = 3,2,\quad |v_3| = 4,5,\quad |v_4| = 0,3,\quad |v_5| = 3,1.
Somando:
\sum_{i=1}^{5} |v_i| = 2,1 + 3,2 + 4,5 + 0,3 + 3,1.
Passo a passo:
2,1 + 3,2 = 5,3,
5,3 + 4,5 = 9,8,
9,8 + 0,3 = 10,1,
10,1 + 3,1 = 13,2.
Divide-se por N=5:
\langle |v| \rangle = \frac{13,2}{5} = 2,64\\ \mathrm{m/s}.
Então a velocidade escalar média é 2,64\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Agora (c): velocidade rms. Definição e fórmula: a velocidade rms (root mean square) é a raiz quadrada da média dos quadrados das velocidades:
v_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} v_i^2}.
Aqui v_i^2 significa “elevar ao quadrado” a componente x da velocidade do átomo i.
Calculamos cada quadrado:
v_1^2 = (2,1)^2 = 4,41,
v_2^2 = (-3,2)^2 = 10,24,
v_3^2 = (4,5)^2 = 20,25,
v_4^2 = (-0,3)^2 = 0,09,
v_5^2 = (-3,1)^2 = 9,61.
Somamos os quadrados:
\sum_{i=1}^{5} v_i^2 = 4,41 + 10,24 + 20,25 + 0,09 + 9,61.
Passo a passo:
4,41 + 10,24 = 14,65,
14,65 + 20,25 = 34,90,
34,90 + 0,09 = 34,99,
34,99 + 9,61 = 44,60.
Média dos quadrados:
\frac{1}{5}\sum_{i=1}^{5} v_i^2 = \frac{44,60}{5} = 8,92.
Tomando a raiz quadrada:
v_{\mathrm{rms}} = \sqrt{8,92} \approx 2,987\\ \mathrm{m/s}.
Explicação prática: v_{\mathrm{rms}} dá uma medida da “magnitude típica” da velocidade, sensível a valores grandes (porque quadrados ampliam valores maiores).

Passo 5

Resumo e interpretação curta: a componente média x deu zero porque as velocidades positivas e negativas se cancelaram; a velocidade escalar média e a rms estão próximas, com v_{\mathrm{rms}} ligeiramente maior porque penaliza valores maiores ao quadrado. Força aí — você já tem tudo que precisa para a prova!

Resposta

a) \bar v_x = 0\\ \mathrm{m/s}
b) \langle |v| \rangle = 2,64\\ \mathrm{m/s}
c) v_{\mathrm{rms}} \approx 2,987\\ \mathrm{m/s}

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