Exercício 4. A Lei da Indução de Faraday é a base para muitos dispositivos eletromagnéticos.
a) Qual é a forma diferencial e integral da Lei da Indução de Faraday? Qual é o significado do sinal negativo (Lei de Lenz)?
b) Descreva duas aplicações práticas diretas da Lei de Faraday.
c) Um fluxo magnético através de uma espira é dado por \Phi=\left(5 t^{2}-2 t\right) Wb. Calcule a tensão induzida na espira em t=1 \mathrm{~s}.
d) Uma espira condutora quadrada de lado 10 cm está no plano x y. Um campo magnético uniforme \mathbf{B}=0.2 \cos (10 t) \mathbf{a}_{ \mathbf{z}} \mathrm{T} atravessa a espira. Calcule a força eletromotriz (FEM) induzida na espira.

Passo 1

Resumindo o enunciado: a questão envolve a Lei da Indução de Faraday. No item (a) vamos escrever as formas diferencial e integral e interpretar o sinal negativo (Lei de Lenz). No item (b) vamos citar duas aplicações práticas diretas dessa lei. Nos itens (c) e (d) precisamos calcular a fem induzida em situações em que o fluxo magnético varia com o tempo, usando a relação entre a variação do fluxo e a fem.

Passo 2

A forma diferencial da Lei de Faraday é dada por
\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}
e a forma integral é
\oint_{C} \mathbf{E}\cdot d\boldsymbol{\ell} \;=\; -\frac{d}{dt} \int_{S} \mathbf{B}\cdot d\mathbf{A}.
O sinal negativo expressa a Lei de Lenz: a corrente induzida gera um campo magnético que se opõe à variação do fluxo que a produziu, garantindo conservação de energia e resposta de oposição à mudança.

Passo 3

Duas aplicações práticas diretas da Lei de Faraday são:
  1. Transformador de potência: varia-se o fluxo no enrolamento primário para induzir tensão no secundário.
  2. Gerador elétrico (dínamo): rota-se uma espira num campo magnético variável para produzir tensão alternada.

Passo 4

Para o fluxo \Phi(t)=5\,t^{2}-2\,t Wb, a fem induzida é
\varepsilon(t) = -\frac{d\Phi}{dt} = -\bigl(10\,t - 2\bigr).
Em t=1 s,
\varepsilon(1) = -\bigl(10\cdot1 - 2\bigr) = -8\;\text{V}.

Passo 5

A espira quadrada de lado L=0{,}10 m tem área A=L^{2}=0{,}01 m^{2}. O fluxo é
\Phi(t)=B(t)\,A = 0{,}2\cos(10\,t)\times0{,}01 = 0{,}002\cos(10\,t)\;\text{Wb}.
A fem induzida é
\varepsilon(t) = -\frac{d\Phi}{dt} = -\bigl(-0{,}002\cdot10\,\sin(10\,t)\bigr) = 0{,}02\,\sin(10\,t)\;\text{V}.

Resposta

a) Forma diferencial:
\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t},
forma integral:
\oint_{C}\mathbf{E}\cdot d\boldsymbol{\ell} = -\frac{d}{dt}\int_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{A},
e o sinal negativo é a Lei de Lenz (oposição à variação de fluxo).
b) Transformador de potência e gerador elétrico.
c) \varepsilon(1) = -8 V.
d) \varepsilon(t) = 0{,}02\,\sin(10\,t) V.

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