Uma barra metálica com 10 mm de raio e 1,5 \mathrm{~m} de comprimento encontra-se inicialmente a uma temperatura uniforme de 1000 K . A barra é subitamente exposta a um fluido a 350 K com h =450 \mathrm{W} /\left(\mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}\right). Após 30 s , qual a temperatura na linha de centro da barra a uma distância axial de 6 mm da sua extremidade? Dados: \rho=3970 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; \mathrm{C}_{\mathrm{p}}=1154 \mathrm{~J} /(\mathrm{kg} . \mathrm{K}) ; \mathrm{k}=12.4 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} . \mathrm{K}) Resp: T=699,6 \mathrm{~K}

Passo 1

Resumo do enunciado: temos uma barra metálica de raio r_0=10\;\mathrm{mm} (comprimento muito maior que o raio, de modo que podemos tratá-la como um cilindro “infinito” em termos de condução radial), inicialmente a T_i=1000\;\mathrm{K}, subitamente exposta a um fluido a T_\infty=350\;\mathrm{K} com coeficiente de convecção h=450\;\mathrm{W/(m^2K)}. Queremos a temperatura no centro r=0 após t=30\;\mathrm{s}. O conteúdo a usar é a condução transiente radial num cilindro infinito, recorrendo ao número de Biot e ao número de Fourier e à carta de Heisler para cilindro.

Passo 2

Calcular as propriedades térmicas necessárias:
\alpha = \frac{k}{\rho\,C_p} = \frac{12{,}4}{3970\times1154} \approx 2{,}707\times10^{-6}\;\mathrm{m^2/s}.
O raio é r_0=0{,}01\;\mathrm{m}, logo
\mathrm{Bi} = \frac{h\,r_0}{k} = \frac{450\times0{,}01}{12{,}4} \approx 0{,}363, \quad \mathrm{Fo} = \frac{\alpha\,t}{r_0^2} = \frac{2{,}707\times10^{-6}\times30}{(0{,}01)^2} \approx0{,}812.

Passo 3

Usando a carta de Heisler para cilindro infinito (eixo em \mathrm{Fo}, curvas para diversos \mathrm{Bi}), lemos o valor do parâmetro adimensional no centro
\Theta = \frac{T(0,t)-T_\infty}{T_i-T_\infty}
para \mathrm{Bi}=0{,}363 e \mathrm{Fo}=0{,}812. Da carta obtém-se aproximadamente
\Theta \approx0{,}537.

Passo 4

Voltar à temperatura dimensional:
T(0,30\,\mathrm{s}) = T_\infty + \Theta\,(T_i - T_\infty) = 350 + 0{,}537\,(1000 - 350) \approx 699{,}6\;\mathrm{K}.

Resposta

T = 699{,}6\;\mathrm{K}.

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