No exercício anterior, suponha que, em lugar de 8, são usados n losangos para formar a estrela, com n>2. Quais são as medidas dos ângulos internos dos losangos?

Passo 1

O enunciado diz que, em vez de 8 losangos, usamos n losangos (com n>2) para formar uma “estrela” em torno de um ponto, de modo que todos os ângulos agudos de cada losango se encontram no vértice central sem sobreposição. Precisamos achar as medidas dos ângulos internos de cada losango em função de n. Para isso, vamos usar:
  • A soma dos ângulos em torno de um ponto é 360^\circ.
  • Num losango, ângulos opostos são iguais e ângulos adjacentes somam 180^\circ.

Passo 2

Se cada losango contribui com um ângulo agudo \alpha no vértice central, então a soma desses ângulos para os n losangos deve ser
n\,\alpha = 360^\circ.
Dessa equação obtém-se
\alpha = \frac{360^\circ}{n}.

Passo 3

Num losango, além de dois ângulos \alpha, há dois ângulos adjacentes suplementares. Logo, o outro ângulo interno vale
180^\circ - \alpha = 180^\circ - \frac{360^\circ}{n}.
Como os ângulos opostos são iguais, cada losango terá dois ângulos de \frac{360^\circ}{n} e dois de 180^\circ - \frac{360^\circ}{n}.

Resposta

Os quatro ângulos internos de cada losango são
\frac{360^\circ}{n},\quad 180^\circ - \frac{360^\circ}{n},\quad \frac{360^\circ}{n},\quad 180^\circ - \frac{360^\circ}{n}.

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