Calcule a distância entre o ponto P=(2,5,-1) e a reta r que passa por P_{0}=(1,-1,2) e é paralela ao vetor v=(1,0,1).

Passo 1

O enunciado pede a distância de um ponto P=(2,5,-1) a uma reta r\subset\mathbb{R}^3 que passa por P_0=(1,-1,2) e tem direção dada pelo vetor v=(1,0,1).
Conteúdo envolvido: distância ponto–reta em \mathbb{R}^3, que se calcula por produto vetorial.

Passo 2

Primeiro formamos o vetor que vai de P_0 a P:
\overrightarrow{P_0P} = P - P_0 = (2-1,\;5-(-1),\;-1-2) = (1,\,6,\,-3).

Passo 3

Calculamos o produto vetorial \overrightarrow{P_0P}\times v. Em bloco:
(1,6,-3)\times(1,0,1) = \bigl(6,\,-4,\,-6\bigr).

Passo 4

Agora achamos as normas:
\bigl\|(1,6,-3)\times(1,0,1)\bigr\| = \sqrt{6^2 + (-4)^2 + (-6)^2} = \sqrt{36 + 16 + 36} = \sqrt{88} = 2\sqrt{22},
\|v\| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}.

Passo 5

Aplicamos a fórmula da distância:
\mathrm{dist}(P,r) = \frac{\bigl\|\overrightarrow{P_0P}\times v\bigr\|}{\|v\|} = \frac{2\sqrt{22}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{88}{2}} = \sqrt{44} = 2\sqrt{11}.

Resposta

A distância de P à reta r é 2\sqrt{11}.

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