Mostre que a reta r: \frac{x+2}{6}=\frac{3 y+1}{-6}=\frac{1-z}{3} e o plano \pi: 2 x-3 y+6 z+3=0 são paralelos e calcule a distância entre eles.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a reta
r:\frac{x+2}{6}=\frac{3y+1}{-6}=\frac{1-z}{3}
é paralela ao plano
\pi:2x-3y+6z+3=0
e em seguida calcular a distância entre eles. Vamos usar (i) produto escalar entre o vetor diretor de r e o vetor normal de \pi para verificar o paralelismo e (ii) a fórmula da distância de um ponto ao plano para obter essa distância.

Passo 2

Escrevendo r em forma paramétrica, seja
\frac{x+2}{6}=\frac{3y+1}{-6}=\frac{1-z}{3}=t.
Dessa igualdade obtemos
x=6t-2,\quad 3y+1=-6t\\ \Rightarrow\\ y=-2t-\tfrac{1}{3},\quad 1-z=3t\\ \Rightarrow\\ z=1-3t.
Logo um vetor diretor da reta é
\vec{v}=(6,\,-2,\,-3)
e, por exemplo, para t=0 um ponto da reta é
P_0=(-2,\,-\tfrac{1}{3},\,1).

Passo 3

O vetor normal do plano \pi é
\vec{n}=(2,\,-3,\,6).
Calculamos o produto escalar
\vec{v}\cdot\vec{n}=6\cdot2+(-2)\cdot(-3)+(-3)\cdot6=12+6-18=0.
Como \vec{v}\cdot\vec{n}=0, o vetor diretor de r é perpendicular ao normal de \pi, logo a reta r é paralela ao plano \pi.

Passo 4

A distância de P_0=(-2,-\tfrac13,1) ao plano \pi:2x-3y+6z+3=0 é dada por
d=\frac{\bigl|2(-2)-3(-\tfrac{1}{3})+6(1)+3\bigr|}{\sqrt{2^2+(-3)^2+6^2}} =\frac{\bigl|-4+1+6+3\bigr|}{\sqrt{4+9+36}} =\frac{6}{7}.

Resposta

A reta r e o plano \pi são paralelos e a distância entre eles é \tfrac{6}{7}.

Exercícios relacionados