Exercício 4 - Aplicação geométrica do produto escalar
Os vetores
e
são perpendiculares.
Determine o valor de k .
Em seguida, encontre o módulo do vetor s com o valor de k encontrado.
Os vetores
Determine o valor de k .
Em seguida, encontre o módulo do vetor s com o valor de k encontrado.
Passo 1
O problema dá dois vetores e pede duas coisas. Vou listar com calma para não perder nada.
- Vetor
. - Vetor
, onde é um número desconhecido. - Informação: os vetores
e são perpendiculares.
Perguntas:
- Determine o valor de
. - Com esse valor de
, encontre o módulo (norma) do vetor .
Passo 2
Entendendo o que significa “perpendiculares” e a ferramenta que vamos usar (passo-a-passo, explicadinho).
- Quando dois vetores em
são perpendiculares, o produto escalar entre eles é zero. Vou explicar o produto escalar: para dois vetores
o produto escalar é dado por
Aqui cada
e
é a componente do vetor nas direções
. O produto escalar combina componente a componente e soma os produtos. Intuitivamente, é uma medida de “quanto eles apontam na mesma direção”. Se o resultado for zero, significa que não há componente comum — estão perpendiculares.
- Outro conceito que vamos usar é o módulo (norma) de um vetor. Para
,
Isto é a extensão do teorema de Pitágoras para três dimensões: soma dos quadrados das componentes e depois raiz quadrada.
Passo 3
Aplicando o produto escalar aos vetores dados. Usamos a fórmula do passo anterior com
e
.
- Calculemos as multiplicações componente a componente:
- Somando conforme a definição do produto escalar:
Passo 4
Como
e
são perpendiculares, impomos
. Assim:
Agora resolvemos a equação linear para
. Primeiro simplificamos
:
Isolando
, obtemos
Passo 5
Vamos verificar rapidamente que com
o produto escalar realmente zera (uma checagem simples que dá segurança na prova).
- Substituindo
em :
Confere — está correto.
Passo 6
Agora calculamos o módulo do vetor
usando a fórmula da norma. Primeiro escrevemos o vetor
com
:
Aplicando
Passo 7
Calculamos passo a passo dentro da raiz:
Somando:
Portanto
Podemos deixar assim (forma exata). Se precisasse de aproximação numérica,
, mas em provas costuma-se preferir a forma exata
.