Exercício 4 - Aplicação geométrica do produto escalar
Os vetores r=(2,3,-1) e s=(4,-1, k) são perpendiculares.
Determine o valor de k .
Em seguida, encontre o módulo do vetor s com o valor de k encontrado.

Passo 1

O problema dá dois vetores e pede duas coisas. Vou listar com calma para não perder nada.
  • Vetor r = (2,3,-1).
  • Vetor s = (4,-1,k), onde k é um número desconhecido.
  • Informação: os vetores r e s são perpendiculares.
Perguntas:
  1. Determine o valor de k.
  2. Com esse valor de k, encontre o módulo (norma) do vetor s.

Passo 2

Entendendo o que significa “perpendiculares” e a ferramenta que vamos usar (passo-a-passo, explicadinho).
  • Quando dois vetores em \mathbb{R}^3 são perpendiculares, o produto escalar entre eles é zero. Vou explicar o produto escalar: para dois vetores
a=(a_1,a_2,a_3)\quad\text{e}\quad b=(b_1,b_2,b_3)
o produto escalar é dado por
a\cdot b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3.
Aqui cada a_i e b_i é a componente do vetor nas direções x,y,z. O produto escalar combina componente a componente e soma os produtos. Intuitivamente, é uma medida de “quanto eles apontam na mesma direção”. Se o resultado for zero, significa que não há componente comum — estão perpendiculares.
  • Outro conceito que vamos usar é o módulo (norma) de um vetor. Para v=(v_1,v_2,v_3),
\|v\| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}.
Isto é a extensão do teorema de Pitágoras para três dimensões: soma dos quadrados das componentes e depois raiz quadrada.

Passo 3

Aplicando o produto escalar aos vetores dados. Usamos a fórmula do passo anterior com r=(2,3,-1) e s=(4,-1,k).
  • Calculemos as multiplicações componente a componente:
2\cdot 4 = 8,
3\cdot (-1) = -3,
(-1)\cdot k = -k.
  • Somando conforme a definição do produto escalar:
r\cdot s = 8 + (-3) + (-k).

Passo 4

Como r e s são perpendiculares, impomos r\cdot s = 0. Assim:
8 - 3 - k = 0.
Agora resolvemos a equação linear para k. Primeiro simplificamos 8-3:
5 - k = 0.
Isolando k, obtemos
k = 5.

Passo 5

Vamos verificar rapidamente que com k=5 o produto escalar realmente zera (uma checagem simples que dá segurança na prova).
  • Substituindo k=5 em r\cdot s:
r\cdot s = 8 - 3 - 5 = 0.
Confere — está correto.

Passo 6

Agora calculamos o módulo do vetor s usando a fórmula da norma. Primeiro escrevemos o vetor s com k=5:
s = (4,-1,5).
Aplicando
\|s\| = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + 5^2}.

Passo 7

Calculamos passo a passo dentro da raiz:
4^2 = 16,\quad (-1)^2 = 1,\quad 5^2 = 25.
Somando:
16 + 1 + 25 = 42.
Portanto
\|s\| = \sqrt{42}.
Podemos deixar assim (forma exata). Se precisasse de aproximação numérica, \sqrt{42}\approx 6{,}48, mas em provas costuma-se preferir a forma exata \sqrt{42}.

Resposta

k = 5
\|s\| = \sqrt{42}

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