Exercício 3 - Cálculo do produto escalar e ângulo entre vetores
Dado os vetores
p=(3,-2,1) e q=(1,0,4),
calcule:
a) o produto escalar p.q
b) o módulo de cada vetor
c) o ângulo entre p e q

Passo 1

O enunciado dá os vetores p=(3,-2,1) e q=(1,0,4) e pede três coisas:
  1. Calcular o produto escalar p\cdot q.
  2. Calcular o módulo (norma) de cada vetor, isto é \|p\| e \|q\|.
  3. Calcular o ângulo entre p e q.
Informações fornecidas que vamos usar: as componentes de p e q conforme escritas acima.

Passo 2

Definição e cálculo do produto escalar. Aula rápida: o produto escalar entre dois vetores (a_1,a_2,a_3) e (b_1,b_2,b_3) é dado por
(a_1,a_2,a_3)\cdot(b_1,b_2,b_3)=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Aqui cada a_i e b_i é a componente correspondente dos vetores. Aplicando a definição a p e q:
p\cdot q = 3\cdot 1 + (-2)\cdot 0 + 1\cdot 4.
Agora faço as multiplicações parciais: 3\cdot 1 = 3, (-2)\cdot 0 = 0, 1\cdot 4 = 4. Somando:
p\cdot q = 3 + 0 + 4 = 7.

Passo 3

Definição e cálculo do módulo de p. Aula rápida: o módulo (ou norma euclidiana) de um vetor (a_1,a_2,a_3) é
\|(a_1,a_2,a_3)\|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}.
Aqui cada termo a_i^2 é o quadrado da componente. Para p=(3,-2,1) temos:
\|p\|=\sqrt{3^2+(-2)^2+1^2}.
Calculo os quadrados: 3^2=9, (-2)^2=4, 1^2=1. Somando:
\|p\|=\sqrt{9+4+1}=\sqrt{14}.

Passo 4

Cálculo do módulo de q. Usando a mesma fórmula para q=(1,0,4):
\|q\|=\sqrt{1^2+0^2+4^2}.
Calculo os quadrados: 1^2=1, 0^2=0, 4^2=16. Somando:
\|q\|=\sqrt{1+0+16}=\sqrt{17}.

Passo 5

Fórmula do ângulo entre vetores e substituição. Aula rápida: o ângulo \theta entre dois vetores não-nulos satisfaz
\cos\theta=\frac{p\cdot q}{\|p\|\,\|q\|}.
Isso vem da relação geométrica do produto escalar. Já temos p\cdot q=7, \|p\|=\sqrt{14} e \|q\|=\sqrt{17}. Substituindo:
\cos\theta=\frac{7}{\sqrt{14}\,\sqrt{17}}=\frac{7}{\sqrt{238}}.

Passo 6

Cálculo numérico aproximado de \cos\theta. Para chegar ao ângulo precisamos de um valor numérico. Primeiro calculo \sqrt{238}. Uma aproximação é \sqrt{238}\approx 15,4277. Dividindo:
\cos\theta \approx \frac{7}{15,4277}\approx 0,4538.
Observação: usei uma aproximação razoavelmente precisa de \sqrt{238} para obter o decimal de \cos\theta. Em prova, se o enunciado pedir apenas expressão exata, a forma \dfrac{7}{\sqrt{238}} é suficiente; se pedir o ângulo numérico, aí sim usa-se calculadora para o arccos.

Passo 7

Cálculo do ângulo \theta. Agora aplico a função inversa cosseno:
\theta=\operatorname{arccos}\!\bigl(\cos\theta\bigr)=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{7}{\sqrt{238}}\right).
Usando o valor aproximado \cos\theta\approx 0,4538 e uma calculadora obtemos
\theta \approx 63,0^\circ,
que em radianos é aproximadamente
\theta \approx 1,10\\ \text{rad}.
Dica de prova: escreva a forma exata \theta=\operatorname{arccos}\!\bigl(7/\sqrt{238}\bigr) e, se solicitado, dê a aproximação em graus (ou radianos) usando calculadora.

Resposta

a) p\cdot q = 7
b) \|p\|=\sqrt{14}, \|q\|=\sqrt{17}
c) \theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{7}{\sqrt{238}}\right)\approx 63,0^\circ (aprox. 1,10 rad)

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