Exercício 3 - Cálculo do produto escalar e ângulo entre vetores
Dado os vetores
e
,
calcule:
a) o produto escalar p.q
b) o módulo de cada vetor
c) o ângulo entre p e q
Dado os vetores
calcule:
a) o produto escalar p.q
b) o módulo de cada vetor
c) o ângulo entre p e q
Passo 1
O enunciado dá os vetores
e
e pede três coisas:
- Calcular o produto escalar
. - Calcular o módulo (norma) de cada vetor, isto é
e . - Calcular o ângulo entre
e .
Informações fornecidas que vamos usar: as componentes de
e
conforme escritas acima.
Passo 2
Definição e cálculo do produto escalar. Aula rápida: o produto escalar entre dois vetores
e
é dado por
Aqui cada
e
é a componente correspondente dos vetores. Aplicando a definição a
e
:
Agora faço as multiplicações parciais:
,
,
. Somando:
Passo 3
Definição e cálculo do módulo de
. Aula rápida: o módulo (ou norma euclidiana) de um vetor
é
Aqui cada termo
é o quadrado da componente. Para
temos:
Calculo os quadrados:
,
,
. Somando:
Passo 4
Cálculo do módulo de
. Usando a mesma fórmula para
:
Calculo os quadrados:
,
,
. Somando:
Passo 5
Fórmula do ângulo entre vetores e substituição. Aula rápida: o ângulo
entre dois vetores não-nulos satisfaz
Isso vem da relação geométrica do produto escalar. Já temos
,
e
. Substituindo:
Passo 6
Cálculo numérico aproximado de
. Para chegar ao ângulo precisamos de um valor numérico. Primeiro calculo
. Uma aproximação é
. Dividindo:
Observação: usei uma aproximação razoavelmente precisa de
para obter o decimal de
. Em prova, se o enunciado pedir apenas expressão exata, a forma
é suficiente; se pedir o ângulo numérico, aí sim usa-se calculadora para o arccos.
Passo 7
Cálculo do ângulo
. Agora aplico a função inversa cosseno:
Usando o valor aproximado
e uma calculadora obtemos
que em radianos é aproximadamente
Dica de prova: escreva a forma exata
e, se solicitado, dê a aproximação em graus (ou radianos) usando calculadora.
Resposta
a)
b) ,
c) (aprox.
rad)
b)
c)