Exercício 2 - Combinação linear de vetores
Considere os vetores
\mathrm{u}=(1,2,-1), \mathrm{v}=(2,-1,3), \mathrm{w}=(\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c})
Sabendo que
w=3 u-2 v,
encontre as componentes \mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c} do vetor w .
Em seguida, verifique se w é ortogonal a u.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \mathrm{u}=(1,2,-1), \mathrm{v}=(2,-1,3) e \mathrm{w}=(\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c}) e afirma que
\mathrm{w}=3\mathrm{u}-2\mathrm{v}.
As perguntas são:
  1. Encontrar as componentes \mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c} do vetor \mathrm{w}.
  2. Verificar se \mathrm{w} é ortogonal a \mathrm{u}.
Informações relevantes fornecidas:
  • \mathrm{u}=(1,2,-1).
  • \mathrm{v}=(2,-1,3).
  • Relação linear \mathrm{w}=3\mathrm{u}-2\mathrm{v}.

Passo 2

Explicação do que significa multiplicar um vetor por um escalar (pra lembrar a técnica): se \mathrm{u}=(u_1,u_2,u_3) e k é um número, então
k\mathrm{u}=(k u_1,\; k u_2,\; k u_3).
Aplicando isso a \mathrm{u}=(1,2,-1) com k=3, obtemos 3\mathrm{u}. Vou calcular cada componente devagar para você poder reproduzir na prova.

Passo 3

Calculemos 3\mathrm{u}:
3\mathrm{u}=3(1,2,-1)=(3\cdot1,\;3\cdot2,\;3\cdot(-1))=(3,\;6,\;-3).
Expliquei componente a componente: 3\cdot1=3, 3\cdot2=6, 3\cdot(-1)=-3.

Passo 4

Agora calculemos 2\mathrm{v} usando a mesma regra, com \mathrm{v}=(2,-1,3) e k=2:
2\mathrm{v}=2(2,-1,3)=(2\cdot2,\;2\cdot(-1),\;2\cdot3)=(4,\;-2,\;6).
De novo, componente a componente: 2\cdot2=4, 2\cdot(-1)=-2, 2\cdot3=6.

Passo 5

Agora explico como fazer a combinação linear 3\mathrm{u}-2\mathrm{v}: a subtração de vetores também é componente a componente. Se A=(A_1,A_2,A_3) e B=(B_1,B_2,B_3), então
A-B=(A_1-B_1,\;A_2-B_2,\;A_3-B_3).
Aplicando isso a 3\mathrm{u}=(3,6,-3) e 2\mathrm{v}=(4,-2,6), calculamos cada componente de \mathrm{w}:
Primeira componente:
a = 3 - 4 = -1.
Segunda componente:
b = 6 - (-2) = 6 + 2 = 8.
Terceira componente:
c = -3 - 6 = -9.
Portanto, \mathrm{w}=(-1,8,-9).

Passo 6

Agora vamos ver se \mathrm{w} é ortogonal a \mathrm{u}. Conceito importante: dois vetores em \mathbb{R}^3 são ortogonais se e somente se o produto escalar (dot product) entre eles for zero. Definição do produto escalar: para \mathrm{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathrm{w}=(w_1,w_2,w_3),
\mathrm{u}\cdot\mathrm{w}=u_1w_1+u_2w_2+u_3w_3.
Se \mathrm{u}\cdot\mathrm{w}=0, então os vetores são ortogonais; caso contrário não são.

Passo 7

Calculemos o produto escalar entre \mathrm{u}=(1,2,-1) e \mathrm{w}=(-1,8,-9) passo a passo:
\mathrm{u}\cdot\mathrm{w}=1\cdot(-1)+2\cdot8+(-1)\cdot(-9).
Avaliação termo a termo:
1\cdot(-1)=-1,\qquad 2\cdot8=16,\qquad (-1)\cdot(-9)=9.
Somando:
\mathrm{u}\cdot\mathrm{w}=-1+16+9=24.
Como \mathrm{u}\cdot\mathrm{w}=24\neq0, concluímos que \mathrm{w} não é ortogonal a \mathrm{u}.

Resposta

\mathrm{a}=-1
\mathrm{b}=8
\mathrm{c}=-9
\mathrm{u}\cdot\mathrm{w}=24 (logo \mathrm{w} não é ortogonal a \mathrm{u})

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