Exercício 2 - Combinação linear de vetores
Considere os vetores
Sabendo que
,
encontre as componentes
do vetor w .
Em seguida, verifique se w é ortogonal a u.
Considere os vetores
Sabendo que
encontre as componentes
Em seguida, verifique se w é ortogonal a u.
Passo 1
O enunciado dá os vetores
,
e
e afirma que
As perguntas são:
- Encontrar as componentes
do vetor . - Verificar se
é ortogonal a .
Informações relevantes fornecidas:
-
. -
. - Relação linear
.
Passo 2
Explicação do que significa multiplicar um vetor por um escalar (pra lembrar a técnica): se
e
é um número, então
Aplicando isso a
com
, obtemos
. Vou calcular cada componente devagar para você poder reproduzir na prova.
Passo 3
Calculemos
:
Expliquei componente a componente:
,
,
.
Passo 4
Agora calculemos
usando a mesma regra, com
e
:
De novo, componente a componente:
,
,
.
Passo 5
Agora explico como fazer a combinação linear
: a subtração de vetores também é componente a componente. Se
e
, então
Aplicando isso a
e
, calculamos cada componente de
:
Primeira componente:
Segunda componente:
Terceira componente:
Portanto,
.
Passo 6
Agora vamos ver se
é ortogonal a
. Conceito importante: dois vetores em
são ortogonais se e somente se o produto escalar (dot product) entre eles for zero. Definição do produto escalar: para
e
,
Se
, então os vetores são ortogonais; caso contrário não são.
Passo 7
Calculemos o produto escalar entre
e
passo a passo:
Avaliação termo a termo:
Somando:
Como
, concluímos que
não é ortogonal a
.