Exercício 1 Quais das aplicações são lineares?
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, T(x, y, z)=(2 x-y+z, 0,0);

Passo 1

O enunciado dá a aplicação
T\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3},\quad T(x,y,z) = (2x - y + z,\,0,\,0)
e pergunta se ela é linear. O conteúdo envolvido é a definição de transformação linear, que exige duas propriedades: aditividade
T(u+v)=T(u)+T(v)
e homogeneidade
T(c\,u)=c\,T(u).

Passo 2

Verificamos aditividade. Tomemos u=(x_{1},y_{1},z_{1}) e v=(x_{2},y_{2},z_{2}). Então
u+v = (x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2},\,z_{1}+z_{2})
e
T(u+v) = \bigl(2(x_{1}+x_{2}) - (y_{1}+y_{2}) + (z_{1}+z_{2}),\,0,\,0\bigr).
Por outro lado,
T(u)+T(v) = (2x_{1}-y_{1}+z_{1},\,0,\,0) + (2x_{2}-y_{2}+z_{2},\,0,\,0) = \bigl(2(x_{1}+x_{2}) - (y_{1}+y_{2}) + (z_{1}+z_{2}),\,0,\,0\bigr).
Logo T(u+v)=T(u)+T(v).

Passo 3

Verificamos homogeneidade. Seja c\in\mathbb{R} e u=(x,y,z). Então
c\,u = (c\,x,\,c\,y,\,c\,z)
e
T(c\,u) = \bigl(2(c\,x) - (c\,y) + (c\,z),\,0,\,0\bigr) = \bigl(c(2x - y + z),\,0,\,0\bigr) = c\,(2x - y + z,\,0,\,0) = c\,T(x,y,z).
Portanto T(c\,u)=c\,T(u).

Passo 4

Como ambas as propriedades (aditividade e homogeneidade) são satisfeitas, concluímos que T é linear.

Resposta

A aplicação T(x,y,z)=(2x - y + z,0,0) é linear.

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