Se (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})=55, qual o valor de:
(\vec{w} \times \vec{v}) \cdot \vec{u}+(\vec{u} \times \vec{w}) \cdot(7 \vec{v})+\vec{v} \cdot(4 \vec{w} \times \vec{u})+(\vec{u}+17 \vec{v}) \cdot(\vec{w} \times \vec{u}) ?

Passo 1

O enunciado dá o produto escalar triplo (\vec{u},\vec{v},\vec{w})=55 e pede para calcular a soma de quatro termos do tipo (\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}. O conteúdo usado é a propriedade de invariância ciclíca e a antissimetria do produto escalar triplo, pois
(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c} = [\vec{a},\vec{b},\vec{c}],
que muda de sinal sob troca de dois vetores e é invariante sob permutações cíclicas.

Passo 2

Para o primeiro termo temos
(\vec{w}\times\vec{v})\cdot\vec{u} = [\vec{w},\vec{v},\vec{u}].
Comparando com [\vec{u},\vec{v},\vec{w}], permutar (\vec{u},\vec{v},\vec{w})\to(\vec{w},\vec{v},\vec{u}) é uma transposição de \vec{u} com \vec{w}, inserindo um fator -1. Logo
(\vec{w}\times\vec{v})\cdot\vec{u} = -55.

Passo 3

O segundo termo é
(\vec{u}\times\vec{w})\cdot(7\vec{v}) = 7\,[\vec{u},\vec{w},\vec{v}].
Para passar de [\vec{u},\vec{v},\vec{w}] a [\vec{u},\vec{w},\vec{v}] troca-se \vec{v} com \vec{w}, gerando sinal negativo. Assim
(\vec{u}\times\vec{w})\cdot(7\vec{v}) = 7\times(-55) = -385.

Passo 4

O terceiro termo é
\vec{v}\cdot(4\,\vec{w}\times\vec{u}) = 4\,[\vec{w},\vec{u},\vec{v}].
A permutação ciclíca (\vec{u},\vec{v},\vec{w})\to(\vec{w},\vec{u},\vec{v}) conserva o sinal, logo
\vec{v}\cdot(4\,\vec{w}\times\vec{u}) = 4\times 55 = 220.

Passo 5

O quarto termo é
(\vec{u}+17\vec{v})\cdot(\vec{w}\times\vec{u}) = \vec{u}\cdot(\vec{w}\times\vec{u}) + 17\,\vec{v}\cdot(\vec{w}\times\vec{u}).
Como \vec{u}\cdot(\vec{w}\times\vec{u})=[\vec{u},\vec{w},\vec{u}]=0 (dois vetores iguais) e
\vec{v}\cdot(\vec{w}\times\vec{u}) = [\vec{w},\vec{u},\vec{v}] = 55,
resulta
(\vec{u}+17\vec{v})\cdot(\vec{w}\times\vec{u}) = 17\times 55 = 935.

Passo 6

Somando todos os termos:
-55 + (-385) + 220 + 935 = -440 + 1155 = 715.

Resposta

715

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