1. Seja F o operador linear de \mathrm{M}_{2}(\mathbb{R}) definido por \mathrm{F}(\mathrm{O})=\mathrm{BX}, \mathrm{VX} \in \mathrm{M}_{2}(\mathbb{R}), onde \mathrm{B} \in \mathrm{M}_{2}(\mathbb{R}).
No caso de B=\left(\begin{array}{rr}1 & 0 \\\\ 2 & -1\end{array}\right) determine K e r(F) e uma base da imagnm de F.

Passo 1

O enunciado define F\colon M_{2}(\mathbb{R})\to M_{2}(\mathbb{R}) por
F(X)=B\,X,
onde
B=\begin{pmatrix}1&0\\[3pt]2&-1\end{pmatrix}.
Queremos encontrar \Ker(F) e uma base de \Im(F). Para isso, vamos primeiro resolver a equação B\,X=0 para a matriz genérica
X=\begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}\\[3pt]x_{21}&x_{22}\end{pmatrix},
e depois usar o fato de que B é invertível.]

Passo 2

Calculando o produto B\,X temos
B\,X =\begin{pmatrix}1\cdot x_{11}+0\cdot x_{21}&1\cdot x_{12}+0\cdot x_{22}\\[3pt] 2\cdot x_{11}-1\cdot x_{21}&2\cdot x_{12}-1\cdot x_{22}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}\\[3pt]2x_{11}-x_{21}&2x_{12}-x_{22}\end{pmatrix}.
Para que B\,X=0, as entradas devem satisfazer
x_{11}=0,\quad x_{12}=0,\quad 2x_{11}-x_{21}=0,\quad 2x_{12}-x_{22}=0.]

Passo 3

Das equações x_{11}=0 e x_{12}=0 segue imediatamente
x_{21}=2x_{11}=0, \quad x_{22}=2x_{12}=0.
Logo, X deve ser a matriz nula, e portanto
\Ker(F)=\{0\}.

Passo 4

Como \dim M_{2}(\mathbb{R})=4 e \dim\Ker(F)=0, pelo Teorema do Núcleo e Imagem
\dim\Im(F)=4-0=4.
Além disso, \det(B)=-1\neq0 mostra que B é invertível, logo F é sobrejetora e
\Im(F)=M_{2}(\mathbb{R}).

Passo 5

Uma base natural de \Im(F)=M_{2}(\mathbb{R}) é a base canônica
E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\[3pt]0&0\end{pmatrix},\quad E_{12}=\begin{pmatrix}0&1\\[3pt]0&0\end{pmatrix},\quad E_{21}=\begin{pmatrix}0&0\\[3pt]1&0\end{pmatrix},\quad E_{22}=\begin{pmatrix}0&0\\[3pt]0&1\end{pmatrix}.]

Resposta

\Ker(F)=\{0\}
Uma base de \Im(F)$ é \(\{E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\}.)

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