Exercício 4: Em cada item, verifique se a equação diferencial é exata e encontre a solução:
l(x^3+2 x e^y-2 y) d y+(2 e^y+3 x^2 y) d x=0 y(4)=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial$ (x^{3}+2x e^{y}-2y),dy + (2e{y}+3x{2}y),dx=0 $ com condição inicial (x^3+2x e^y-2y),dy + (2e^y+3x^2y),dx=0 . O conteúdo aqui é Equações Diferenciais Exatas: vamos verificar se o 1-forma é exata e, em caso afirmativo, encontrar a função potencial cuja d(Φ)=0 nos dá a solução implícita.

Passo 2

Precisamos identificar as funções M(x,y) e N(x,y) de modo que a forma seja M(x,y),dy + N(x,y),dx=0. Aqui temos
M(x,y)=x^3+2x e^y-2y,
N(x,y)=2e^y+3x^2y
Agora calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial x=3x^2+2e^y,
partial Npartial y=2e^y+3x^2
Como partial M/partial x=partial N/partial y, a equação é exata.

Passo 3

Para obter a solução, buscamos uma função potencial Phi(x,y) tal que
partial Phipartial x=N(x,y) e partial Phipartial y=M(x,y)
Começamos integrando N(x,y) em relação a x:
Phi(x,y)=integral (2e^y+3x^2y),dx = 2x e^y + x^3y + g(y),
onde g(y) é função a determinar.

Passo 4

Agora diferenciamos Phi em relação a y e igualamos a M(x,y):
partial Phipartial y=2x e^y + x^3 + g'(y) stackrel!= x^3 +2x e^y-2y
Dessa igualdade vem
g'(y)=-2y
e, portanto,
g(y)=-y^2+C1
Então a função potencial é
Phi(x,y)=2x e^y + x^3y - y^2 + C1
A condição y(4)=0
2cdot4,e^0+4^3cdot0-0^2+C1=8+C1=constante da solução çã
Logo o valor de C1 na solução implícita é tal que o lado direito vale 8.

Resposta

A solução implícita que satisfaz a condição inicial é
2x e^y + x^3y - y^2 = 8

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