Exercício 4: Em cada item, verifique se a equação diferencial é exata e encontre a solução:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial$ (x^{3}+2x e^{y}-2y),dy + (2e{y}+3x{2}y),dx=0 $ com condição inicial
. O conteúdo aqui é Equações Diferenciais Exatas: vamos verificar se o 1-forma é exata e, em caso afirmativo, encontrar a função potencial cuja d(Φ)=0 nos dá a solução implícita.
Passo 2
Precisamos identificar as funções
e
de modo que a forma seja
. Aqui temos
Agora calculamos as derivadas parciais
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Para obter a solução, buscamos uma função potencial
tal que
Começamos integrando
em relação a
:
onde
é função a determinar.
Passo 4
Agora diferenciamos
em relação a
e igualamos a
:
Dessa igualdade vem
e, portanto,
Então a função potencial é
A condição
dá
Logo o valor de
na solução implícita é tal que o lado direito vale
.
Resposta
A solução implícita que satisfaz a condição inicial é