Exercício 1.4. Aplique o Método de Bisseção e da Falsa Posição para calcular a raiz positiva de
com erro absoluto
, partindo do intervalo [2.00,3.00].
Passo 1
O enunciado pede aplicar os métodos da Bisseção e da Falsa Posição para calcular a raiz positiva da equação
com erro absoluto
, partindo do intervalo inicial
.
Informações dadas:
- Função:
. - Intervalo inicial:
, . - Critério de erro pedido: erro absoluto
. - Observação inicial (extraída dos dados):
e , portanto há troca de sinal em e existe pelo menos uma raiz nesse intervalo (a positiva).
Passo 2
Método da Bisseção — explicação didática curta:
- A cada iteração toma-se o ponto médio
. - Avalia-se
. Se a raiz está em ; se a raiz está em . - O erro máximo associado ao aproximante
após iterações satisfaz
Para garantir
com
exige-se
Para segurança tomamos
iterações (ou seja, 7 pontos médios) — isso garante erro máximo menor que
.
Agora as iterações (mostrando
,
,
,
e o novo intervalo):
-
.
Como
e
, nova faixa:
.
-
.
Sinal de
negativo, logo nova faixa:
.
-
.
Nova faixa:
.
-
.
Nova faixa:
.
-
.
(Sim: aqui usei a representação fracionária
.) Como
, nova faixa:
.
-
.
Logo nova faixa:
.
-
.
Após
iterações tomamos
como aproximação pelo método da Bisseção. Pelo critério do erro máximo,
logo a aproximação
tem erro absoluto menor que
.
Passo 3
Método da Falsa Posição (Regula Falsi) — explicação didática:
- A ideia é aproximar a curva por uma reta que passa pelos pontos
e e tomar a interseção dessa reta com o eixo como novo aproximante. - A fórmula da interseção é obtida por interpolação linear:
- Depois calcula-se
e substitui-se o extremo cujo sinal coincide com , mantendo assim um intervalo de troca de sinal. Repetir até que a diferença entre duas aproximações sucessivas seja menor que (critério prático usado aqui).
Agora as iterações (parando quando a mudança entre aproximações sucessivas ficar abaixo de
):
Iteração 1 (inicial):
Aplicando a fórmula:
Avaliação:
Como
e
, novo intervalo:
.
Iteração 2:
Aplicando a fórmula:
Avaliação aproximada:
Ainda negativo, logo intervalo agora
.
Iteração 3:
Avaliação aproximada:
Diferença em relação ao passo anterior:
portanto continuar.
Iteração 4:
Diferença:
Portanto atingiu-se o critério pedido. Tomamos
como aproximação pelo método da Falsa Posição com erro de aproximação (entre iterações) menor que
. (O erro real em relação à raiz exata é ainda menor.)
Passo 4
Resumo final e comentário de incentivo:
- Pelo método da Bisseção, após 7 iterações obteve-se
com garantia teórica de erro absoluto menor que . - Pelo método da Falsa Posição, iterando até que a mudança entre sucessivas aproximações fosse menor que
, obteve-se .
Bons sinais: ambos os métodos convergiram para valores próximos (a raiz exata é
). Você já tem as duas aproximações dentro do erro pedido — ótimo trabalho, segue firme que dá pra dominar isso!