Exercício 1.4. Aplique o Método de Bisseção e da Falsa Posição para calcular a raiz positiva de x^{3}-15=0 com erro absoluto \epsilon<0,01, partindo do intervalo [2.00,3.00].

Passo 1

O enunciado pede aplicar os métodos da Bisseção e da Falsa Posição para calcular a raiz positiva da equação
x^{3}-15=0
com erro absoluto \epsilon<0,01, partindo do intervalo inicial [2{,}00,\,3{,}00].
Informações dadas:
  • Função: f(x)=x^{3}-15.
  • Intervalo inicial: a_{0}=2{,}00, b_{0}=3{,}00.
  • Critério de erro pedido: erro absoluto \epsilon<0{,}01.
  • Observação inicial (extraída dos dados): f(2{,}00)=2^{3}-15=-7 e f(3{,}00)=3^{3}-15=12, portanto há troca de sinal em [2{,}00,3{,}00] e existe pelo menos uma raiz nesse intervalo (a positiva).

Passo 2

Método da Bisseção — explicação didática curta:
  • A cada iteração toma-se o ponto médio c=\dfrac{a+b}{2}.
  • Avalia-se f\text{(c)}. Se f(a)\,f\text{(c)}<0 a raiz está em [a,c]; se f\text{(c)}\,f(b)<0 a raiz está em [c,b].
  • O erro máximo associado ao aproximante c_n após n iterações satisfaz
\text{erro máximo} \le \frac{b_{0}-a_{0}}{2^{\,n+1}}.á
Para garantir \dfrac{b_{0}-a_{0}}{2^{\,n+1}}<0{,}01 com b_{0}-a_{0}=1{,}00 exige-se
\frac{1}{2^{\,n+1}}<0{,}01 \quad\Rightarrow\quad 2^{\,n+1}>100 \quad\Rightarrow\quad n+1\ge 7 \Rightarrow n\ge 6.
Para segurança tomamos n=7 iterações (ou seja, 7 pontos médios) — isso garante erro máximo menor que 0{,}01.
Agora as iterações (mostrando a, b, c, f\text{(c)} e o novo intervalo):
  1. a_{0}=2{,}00,\; b_{0}=3{,}00.
c_{1}=\frac{2{,}00+3{,}00}{2}=2{,}5000,\qquad f(c_{1})=2{,}5^{3}-15=15{,}625-15=0{,}625>0.
Como f(2{,}00)<0 e f(c_{1})>0, nova faixa: [2{,}00,\,2{,}5000].
  1. a_{1}=2{,}00,\; b_{1}=2{,}5000.
c_{2}=\frac{2{,}00+2{,}5000}{2}=2{,}2500,\qquad f(c_{2})=2{,}25^{3}-15=11{,}390625-15=-3{,}609375<0.
Sinal de f(c_{2}) negativo, logo nova faixa: [2{,}2500,\,2{,}5000].
  1. a_{2}=2{,}2500,\; b_{2}=2{,}5000.
c_{3}=\frac{2{,}2500+2{,}5000}{2}=2{,}3750,\qquad f(c_{3})=2{,}375^{3}-15=13{,}396484375-15=-1{,}603515625<0.
Nova faixa: [2{,}3750,\,2{,}5000].
  1. a_{3}=2{,}3750,\; b_{3}=2{,}5000.
c_{4}=\frac{2{,}3750+2{,}5000}{2}=2{,}4375,\qquad f(c_{4})=2{,}4375^{3}-15=14{,}501708984375-15=-0{,}498291015625<0.
Nova faixa: [2{,}4375,\,2{,}5000].
  1. a_{4}=2{,}4375,\; b_{4}=2{,}5000.
c_{5}=\frac{2{,}4375+2{,}5000}{2}=2{,}46875,\qquad f(c_{5})=\left(\frac{79}{32}\right)^{3}-15=\frac{493039}{32768}-15=0{,}046417236328125>0.
(Sim: aqui usei a representação fracionária \,2{,}46875=\tfrac{79}{32}.) Como f(c_{5})>0, nova faixa: [2{,}4375,\,2{,}46875].
  1. a_{5}=2{,}4375,\; b_{5}=2{,}46875.
c_{6}=\frac{2{,}4375+2{,}46875}{2}=2{,}453125,\qquad f(c_{6})\approx -0{,}2357\\ (\text{aprox.}).
Logo nova faixa: [2{,}453125,\,2{,}46875].
  1. a_{6}=2{,}453125,\; b_{6}=2{,}46875.
c_{7}=\frac{2{,}453125+2{,}46875}{2}=2{,}4609375,\qquad f(c_{7})\approx -0{,}0960\\ (\text{aprox.}).
Após 7 iterações tomamos c_{7}=2{,}4609375 como aproximação pelo método da Bisseção. Pelo critério do erro máximo,
\frac{b_{0}-a_{0}}{2^{\,7+1}}=\frac{1}{256}=0{,}00390625<0{,}01,
logo a aproximação c_{7} tem erro absoluto menor que 0{,}01.

Passo 3

Método da Falsa Posição (Regula Falsi) — explicação didática:
  • A ideia é aproximar a curva por uma reta que passa pelos pontos (a,f(a)) e (b,f(b)) e tomar a interseção dessa reta com o eixo x como novo aproximante.
  • A fórmula da interseção é obtida por interpolação linear:
x_{r}=\frac{a\,f(b)-b\,f(a)}{f(b)-f(a)}.
  • Depois calcula-se f(x_{r}) e substitui-se o extremo cujo sinal coincide com f(x_{r}), mantendo assim um intervalo de troca de sinal. Repetir até que a diferença entre duas aproximações sucessivas |x_{r}^{(k)}-x_{r}^{(k-1)}| seja menor que \epsilon (critério prático usado aqui).
Agora as iterações (parando quando a mudança entre aproximações sucessivas ficar abaixo de 0{,}01):
Iteração 1 (inicial):
a_{0}=2{,}00,\; f(a_{0})=-7{,} \qquad b_{0}=3{,}00,\; f(b_{0})=12.
Aplicando a fórmula:
x_{1}=\frac{2{,}00\cdot 12 - 3{,}00\cdot(-7)}{12-(-7)}=\frac{24+21}{19}=\frac{45}{19}=2{,}368421052631579\ldots
Avaliação:
f(x_{1})=\left(\frac{45}{19}\right)^{3}-15=\frac{91125}{6859}-15=\frac{-11760}{6859}\approx -1{,}7146.
Como f(x_{1})<0 e f(b_{0})>0, novo intervalo: [x_{1},\,3{,}00].
Iteração 2:
a_{1}=2{,}36842105,\; f(a_{1})\approx -1{,}7146,\qquad b_{1}=3{,}00,\; f(b_{1})=12.
Aplicando a fórmula:
x_{2}=\frac{a_{1}f(b_{1})-b_{1}f(a_{1})}{f(b_{1})-f(a_{1})} \approx\frac{2{,}36842105\cdot 12 - 3\cdot(-1{,}7146)}{12-(-1{,}7146)} \approx\frac{33{,}5647}{13{,}7146}\approx 2{,}4480.
Avaliação aproximada:
f(x_{2})\approx 2{,}4480^{3}-15\approx -0{,}3306.
Ainda negativo, logo intervalo agora [2{,}4480,\,3{,}00].
Iteração 3:
a_{2}=2{,}4480,\; f(a_{2})\approx -0{,}3306,\qquad b_{2}=3{,}00,\; f(b_{2})=12.
x_{3}\approx\frac{2{,}4480\cdot 12 - 3\cdot(-0{,}3306)}{12-(-0{,}3306)} \approx\frac{29{,}376+0{,}9918}{12{,}3306}\approx\frac{30{,}3678}{12{,}3306}\approx 2{,}4630.
Avaliação aproximada:
f(x_{3})\approx 2{,}4630^{3}-15\approx -0{,}0588.
Diferença em relação ao passo anterior:
|x_{3}-x_{2}|\approx |2{,}4630-2{,}4480|=0{,}0150>0{,}01,
portanto continuar.
Iteração 4:
a_{3}=2{,}4630,\; f(a_{3})\approx -0{,}0588,\qquad b_{3}=3{,}00.
x_{4}\approx\frac{2{,}4630\cdot 12 - 3\cdot(-0{,}0588)}{12-(-0{,}0588)} \approx\frac{29{,}556+0{,}1764}{12{,}0588}\approx\frac{29{,}7324}{12{,}0588}\approx 2{,}4655.
Diferença:
|x_{4}-x_{3}|\approx |2{,}4655-2{,}4630|=0{,}0025<0{,}01.
Portanto atingiu-se o critério pedido. Tomamos x_{4}\approx 2{,}4655 como aproximação pelo método da Falsa Posição com erro de aproximação (entre iterações) menor que 0{,}01. (O erro real em relação à raiz exata é ainda menor.)

Passo 4

Resumo final e comentário de incentivo:
  • Pelo método da Bisseção, após 7 iterações obteve-se c_{7}=2{,}4609375 com garantia teórica de erro absoluto menor que 0{,}01.
  • Pelo método da Falsa Posição, iterando até que a mudança entre sucessivas aproximações fosse menor que 0{,}01, obteve-se x_{4}\approx 2{,}4655.
Bons sinais: ambos os métodos convergiram para valores próximos (a raiz exata é \sqrt[3]{15}\approx 2{,}4662). Você já tem as duas aproximações dentro do erro pedido — ótimo trabalho, segue firme que dá pra dominar isso!

Resposta

2{,}4609375
2{,}4655

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