Exercício 1.7. Dado o polinómio
, faça o que se pede:
(a) Determine o intervalo onde todos os zeros do polinômio devem estar.
(b) Encontre uma aproximação para uma das raízes de
, com precisão de sete casas decimais, usando o Método de Newton com no máximo 10 passos e
.
(a) Determine o intervalo onde todos os zeros do polinômio devem estar.
(b) Encontre uma aproximação para uma das raízes de
Passo 1
O enunciado dá o polinómio
e pede duas coisas:
- (a) determinar um intervalo da recta real onde todos os zeros (raízes) do polinómio devem estar;
- (b) aproximar uma das raízes de
com precisão de sete casas decimais, usando o Método de Newton com no máximo 10 passos e .
Informações relevantes dadas:
- O polinómio é
. - Ponto inicial para Newton:
. - Precisão desejada: sete casas decimais.
- Máximo de iterações permitido: 10.
Passo 2
(a) Encontrar um intervalo que contenha todas as raízes (reais e complexas): uso a desigualdade de Cauchy (um bound clássico para as raízes).
Teoria (explicada): se
com
, então todas as raízes complexas
satisfazem
Isto vem de uma estimação elementar que garante um disco no plano complexo que contém todas as raízes. Para polinómios com coeficientes inteiros é uma forma prática de obter um intervalo real
que contém todas as raízes reais.
Aplicando ao nosso polinómio:
-
(coeficiente líder), - os outros coeficientes em valor absoluto são
.
Portanto
Conclusão: todas as raízes (reais ou complexas) satisfazem
. Assim todos os zeros reais estão no intervalo
Passo 3
(b) Método de Newton — explicação didática e fórmula.
O Método de Newton para resolver
gera a sequência
onde
é a derivada de
. A ideia: aproximar
por sua reta tangente em
e usar a interseção da tangente com o eixo
como nova aproximação.
Para o nosso polinómio:
Critério prático de paragem para obter sete casas decimais:
- podemos parar quando duas iterações consecutivas têm os mesmos 7 dígitos após a vírgula (ou quando
). Aqui vou usar a verificação por igualdade até 7 casas decimais (ou seja, arredondando a cada iteração a 7 casas decimais e verificar se não muda).
Vou realizar as iterações iniciando em
, mostrando cálculos intermédios (onde possível com frações exatas) e arredondamentos decimais suficientes.
Passo 4
Iterações de Newton (cálculos passo a passo).
Passo inicial:
-
. -
. -
.
Aplicando Newton:
Segunda iteração (usando frações exatas onde possível):
-
. -
-
Logo
(usar a fração
dá valor exato para
.)
Terceira iteração:
- Calculei exactamente (com frações)
. - Calculei exactamente
. - Correção de Newton:
(esse valor tem representação decimal curta nos nossos cálculos, por isso o aproximamos com precisão suficiente).
- Assim
Quarta iteração:
- Avaliando
e em (com cuidado numérico): -
. -
.
-
- Correção:
- Portanto
Verificação de convergência:
- A correção
tem ordem ; o próximo resíduo será da ordem de (por convergência quadrática do método de Newton), ou seja da ordem . Assim já tem muitos dígitos corretos. - Arredondando
e às sete casas decimais: -
(7 casas) — note que ao arredondar a 7 casas obtém-se . -
(7 casas) — arredondamento dá .
Comodifere de em posição anterior às 7 casas (e é já extremamente pequeno), tomamos como a aproximação final com a precisão pedida. Se se quisesse confirmar que o dígito da 7.ª casa já não muda, poderia calcular (mas a razão dos resíduos indica que já ultrapassa folgadamente a precisão pedida).
-
Observação prática (critério de paragem usado): aqui aceitei a aproximação final quando a correção ficou da ordem de
e o resíduo passou a ser da ordem de
, o que garante pelo menos 7 casas decimais corretas. Também verifiquei que o arredondamento a 7 casas de
é estável dentro do erro estimado.
Resposta
(a)
(b)
(b)