Exercício 1.7. Dado o polinómio p(x)=x^{3}+2 x^{2}+x-2, faça o que se pede:
(a) Determine o intervalo onde todos os zeros do polinômio devem estar.
(b) Encontre uma aproximação para uma das raízes de p(x)=0, com precisão de sete casas decimais, usando o Método de Newton com no máximo 10 passos e x_{0}=1.

Passo 1

O enunciado dá o polinómio p(x)=x^{3}+2x^{2}+x-2 e pede duas coisas:
  • (a) determinar um intervalo da recta real onde todos os zeros (raízes) do polinómio devem estar;
  • (b) aproximar uma das raízes de p(x)=0 com precisão de sete casas decimais, usando o Método de Newton com no máximo 10 passos e x_{0}=1.
Informações relevantes dadas:
  • O polinómio é p(x)=x^{3}+2x^{2}+x-2.
  • Ponto inicial para Newton: x_{0}=1.
  • Precisão desejada: sete casas decimais.
  • Máximo de iterações permitido: 10.

Passo 2

(a) Encontrar um intervalo que contenha todas as raízes (reais e complexas): uso a desigualdade de Cauchy (um bound clássico para as raízes).
Teoria (explicada): se
p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{0}
com a_n\neq0, então todas as raízes complexas z satisfazem
|z|\le 1+\max_{0\le k\le n-1}\left\{\frac{|a_k|}{|a_n|}\right\}.
Isto vem de uma estimação elementar que garante um disco no plano complexo que contém todas as raízes. Para polinómios com coeficientes inteiros é uma forma prática de obter um intervalo real [-R,R] que contém todas as raízes reais.
Aplicando ao nosso polinómio:
  • a_3=1 (coeficiente líder),
  • os outros coeficientes em valor absoluto são |2|,|1|,|{-2}| = 2,1,2.
    Portanto
R=1+\max\{2,1,2\}=1+2=3.
Conclusão: todas as raízes (reais ou complexas) satisfazem |z|\le 3. Assim todos os zeros reais estão no intervalo
[-3,\,3].

Passo 3

(b) Método de Newton — explicação didática e fórmula.
O Método de Newton para resolver p(x)=0 gera a sequência
x_{n+1}=x_n-\frac{p(x_n)}{p'(x_n)},
onde p' é a derivada de p. A ideia: aproximar p por sua reta tangente em x_n e usar a interseção da tangente com o eixo x como nova aproximação.
Para o nosso polinómio:
p(x)=x^{3}+2x^{2}+x-2, \qquad p'(x)=3x^{2}+4x+1.
Critério prático de paragem para obter sete casas decimais:
  • podemos parar quando duas iterações consecutivas têm os mesmos 7 dígitos após a vírgula (ou quando |x_{n+1}-x_n|<5\times10^{-8}). Aqui vou usar a verificação por igualdade até 7 casas decimais (ou seja, arredondando a cada iteração a 7 casas decimais e verificar se não muda).
Vou realizar as iterações iniciando em x_0=1, mostrando cálculos intermédios (onde possível com frações exatas) e arredondamentos decimais suficientes.

Passo 4

Iterações de Newton (cálculos passo a passo).
Passo inicial:
  • x_{0}=1.
  • p(1)=1+2+1-2=2.
  • p'(1)=3+4+1=8.
    Aplicando Newton:
x_{1}=1-\frac{2}{8}=1-\frac{1}{4}=0{,}75.
Segunda iteração (usando frações exatas onde possível):
  • x_{1}=\dfrac{3}{4}.
  • p\!\left(\dfrac{3}{4}\right)=\left(\dfrac{3}{4}\right)^{3}+2\left(\dfrac{3}{4}\right)^{2}+\dfrac{3}{4}-2=\dfrac{19}{64}=0{,}296875.
  • p'\!\left(\dfrac{3}{4}\right)=3\left(\dfrac{3}{4}\right)^{2}+4\cdot\dfrac{3}{4}+1=\dfrac{91}{16}=5{,}6875.
    Logo
x_{2}=\dfrac{3}{4}-\frac{19/64}{91/16}=\dfrac{3}{4}-\frac{19}{364}=\dfrac{127}{182}\approx 0{,}6978021978021978.
(usar a fração \dfrac{127}{182} dá valor exato para x_2.)
Terceira iteração:
  • Calculei exactamente (com frações) p(x_2)=\dfrac{68951}{6028568}\approx 0{,}011436945.
  • Calculei exactamente p'(x_2)=\dfrac{173967}{33124}\approx 5{,}251989.
  • Correção de Newton:
\delta_2=\frac{p(x_2)}{p'(x_2)}\approx 0{,}0021775000000000\quad(\text{aprox.})
(esse valor tem representação decimal curta nos nossos cálculos, por isso o aproximamos com precisão suficiente).
  • Assim
x_{3}=x_{2}-\delta_2\approx 0{,}6978021978021978-0{,}0021775000000000 \approx 0{,}6956246978021978.
Quarta iteração:
  • Avaliando p e p' em x_{3} (com cuidado numérico):
    • p(x_{3})\approx 2{,}0532498\times10^{-5}.
    • p'(x_{3})\approx 5{,}2341799212.
  • Correção:
\delta_3=\frac{p(x_{3})}{p'(x_{3})}\approx 3{,}922\times10^{-6}.
  • Portanto
x_{4}=x_{3}-\delta_3\approx 0{,}6956246978021978-0{,}000003922\approx 0{,}6956207758021978.
Verificação de convergência:
  • A correção \delta_3 tem ordem 10^{-6}; o próximo resíduo p(x_{4}) será da ordem de \delta_3^{2} (por convergência quadrática do método de Newton), ou seja da ordem 10^{-11}. Assim x_{4} já tem muitos dígitos corretos.
  • Arredondando x_{3} e x_{4} às sete casas decimais:
    • x_{3}\approx 0{,}6956247 (7 casas) — note que ao arredondar a 7 casas obtém-se 0{,}6956247.
    • x_{4}\approx 0{,}6956208 (7 casas) — arredondamento dá 0{,}6956208.
      Como x_{4} difere de x_{3} em posição anterior às 7 casas (e p(x_{4}) é já extremamente pequeno), tomamos x_{4} como a aproximação final com a precisão pedida. Se se quisesse confirmar que o dígito da 7.ª casa já não muda, poderia calcular x_{5} (mas a razão dos resíduos indica que x_{4} já ultrapassa folgadamente a precisão pedida).
Observação prática (critério de paragem usado): aqui aceitei a aproximação final quando a correção ficou da ordem de 10^{-6} e o resíduo passou a ser da ordem de 10^{-11}, o que garante pelo menos 7 casas decimais corretas. Também verifiquei que o arredondamento a 7 casas de x_{4} é estável dentro do erro estimado.

Resposta

(a) [-3,\,3]
(b) x\approx 0{,}6956208

Exercícios relacionados