Exercício 1.3. Considere a equação
.
(a) Mostre que a equação possui uma raiz no intervalo
.
(b) Qual é o número mínimos de iterações necessárias para se obter uma aproximação da raiz com duas casas decimais corretas, usando o Método da Bisseção?
(c) Se
. é a sequência de aproximações para a solução da equação
através do Método da Biseção, determine o valor aproximado de
.
(a) Mostre que a equação possui uma raiz no intervalo
(b) Qual é o número mínimos de iterações necessárias para se obter uma aproximação da raiz com duas casas decimais corretas, usando o Método da Bisseção?
(c) Se
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas:
- (a) Mostrar que a equação
tem uma raiz no intervalo . - (b) Determinar o número mínimo de iterações do Método da Bisseção necessário para obter uma aproximação da raiz com duas casas decimais corretas.
- (c) Para a sequência de aproximações
obtidas pelo Método da Bisseção, calcular o valor aproximado de .
Informações dadas e hipóteses úteis que usarei:
- Intervalo inicial:
. - A função
é dada explicitamente por . - A estratégia: usar o Teorema do Valor Intermediário para (a); usar a estimativa de erro da Bisseção para (b); e calcular explicitamente as primeiras midpoints e sinais em (c).
Passo 2
Primeiro, mostro que
é contínua em
.
Explicação didática: a função exponencial é contínua em todo
e a função identidade
é contínua; o produto de funções contínuas é contínuo. Portanto
é contínua e, subtraindo a constante
,
também é contínua em
. Isso permite aplicar o Teorema do Valor Intermediário (TVI): se
e
têm sinais opostos, então existe pelo menos uma raiz em
.
Explicação didática: a função exponencial
Passo 3
Calculo
nas extremidades do intervalo e verifico sinais.
Calculemos
:
Usando
(valor conhecido ou tabela), obtemos
Calculemos
:
Como
e
e
é contínua, pelo TVI existe pelo menos uma raiz
com
. Isso resolve (a).
Passo 4
Agora a parte (b): número mínimo de iterações da Bisseção para garantir duas casas decimais corretas.
Explico a estimativa de erro do Método da Bisseção: se o intervalo inicial tem comprimento
, após
iterações a bisseção produz um subintervalo que contém a raiz com comprimento
Se
for o ponto médio desse subintervalo, a distância máxima entre
e a raiz real
satisfaz
Para que a aproximação tenha as duas casas decimais corretas ao arredondar (ou, equivalentemente, diferença absoluta menor ou igual a
), precisamos de
No nosso caso
. Substituindo:
Tomando logaritmo na base
:
Como
deve ser inteiro (número de iterações), o menor
que satisfaz é
. Verificação rápida:
- Se
: (insuficiente). - Se
: (suficiente).
Portanto são necessárias, no mínimo,
iterações da Bisseção para garantir duas casas decimais corretas.
Passo 5
Agora a parte (c): calcular
, onde
é a sequência de aproximações obtida pelo Método da Bisseção.
Defino a convenção usada (padrão de exercícios):
é o ponto médio do intervalo obtido após
iterações, com
sendo o primeiro ponto médio do intervalo inicial
. Assim:
Vou construir as primeiras iterações explicitamente (cada passo: calcular
, avaliar
para escolher em qual metade está a raiz, e obter o próximo intervalo). Trabalho com frações binárias (elas ficam exatas) e faço aproximações de
só para determinar o sinal.
- Iteração 0:
Calculando o sinal:
Como
e
, a raiz fica em
.
- Iteração 1:
Avaliação:
Logo a raiz está em
.
- Iteração 2:
Avaliação aproximada (usei
e série para
):
Agora
e
, então a raiz está em
.
- Iteração 3:
Avaliação aproximada (usei
):
Então a raiz está em
.
- Iteração 4:
Agora calculo a diferença pedida:
Em fração exata:
Observação geral (fórmula): de modo geral, para o esquema que adotei, vale
o que para
dá
, consistente com o cálculo acima.
Resposta
(a) A equação possui pelo menos uma raiz em
pelo Teorema do Valor Intermediário.
(b) iterações (mínimo) pelo Método da Bisseção.
(c) .
(b)
(c)