Exercício 1.3. Considere a equação f(x)=x e^{x}-1.
(a) Mostre que a equação possui uma raiz no intervalo [0.5,1].
(b) Qual é o número mínimos de iterações necessárias para se obter uma aproximação da raiz com duas casas decimais corretas, usando o Método da Bisseção?
(c) Se \left(x_{k}\right), k=0,1,2,3, .. é a sequência de aproximações para a solução da equação f(x)=0 através do Método da Biseção, determine o valor aproximado de \left|x_{4}-x_{3}\right|.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x e^{x}-1 e pede três coisas:
  • (a) Mostrar que a equação f(x)=0 tem uma raiz no intervalo [0{,}5,1].
  • (b) Determinar o número mínimo de iterações do Método da Bisseção necessário para obter uma aproximação da raiz com duas casas decimais corretas.
  • (c) Para a sequência de aproximações \left(x_{k}\right) obtidas pelo Método da Bisseção, calcular o valor aproximado de \left|x_{4}-x_{3}\right|.
Informações dadas e hipóteses úteis que usarei:
  • Intervalo inicial: [a,b]=[0{,}5,1].
  • A função f é dada explicitamente por f(x)=x e^{x}-1.
  • A estratégia: usar o Teorema do Valor Intermediário para (a); usar a estimativa de erro da Bisseção para (b); e calcular explicitamente as primeiras midpoints e sinais em (c).

Passo 2

Primeiro, mostro que f é contínua em [0{,}5,1].
Explicação didática: a função exponencial e^{x} é contínua em todo \mathbb{R} e a função identidade x é contínua; o produto de funções contínuas é contínuo. Portanto x\mapsto x e^{x} é contínua e, subtraindo a constante 1, f também é contínua em [0{,}5,1]. Isso permite aplicar o Teorema do Valor Intermediário (TVI): se f(a) e f(b) têm sinais opostos, então existe pelo menos uma raiz em [a,b].

Passo 3

Calculo f nas extremidades do intervalo e verifico sinais.
Calculemos f(0{,}5):
f(0{,}5)=0{,}5\,e^{0{,}5}-1.
Usando e^{0{,}5}\approx1{,}64872127 (valor conhecido ou tabela), obtemos
f(0{,}5)\approx0{,}5\cdot1{,}64872127-1\approx0{,}824360635-1\approx-0{,}175639365<0.
Calculemos f(1):
f(1)=1\cdot e^{1}-1=e-1\approx2{,}718281828-1\approx1{,}718281828>0.
Como f(0{,}5)<0 e f(1)>0 e f é contínua, pelo TVI existe pelo menos uma raiz \xi com \xi\in[0{,}5,1]. Isso resolve (a).

Passo 4

Agora a parte (b): número mínimo de iterações da Bisseção para garantir duas casas decimais corretas.
Explico a estimativa de erro do Método da Bisseção: se o intervalo inicial tem comprimento L_{0}=b-a, após n iterações a bisseção produz um subintervalo que contém a raiz com comprimento
L_{n}=\frac{L_{0}}{2^{n}}.
Se x_{n} for o ponto médio desse subintervalo, a distância máxima entre x_{n} e a raiz real \xi satisfaz
\left|x_{n}-\xi\right|\le\frac{L_{n}}{2}=\frac{L_{0}}{2^{n+1}}.
Para que a aproximação tenha as duas casas decimais corretas ao arredondar (ou, equivalentemente, diferença absoluta menor ou igual a 0{,}5\cdot10^{-2}=0{,}005), precisamos de
\frac{L_{0}}{2^{n+1}}\le0{,}005.
No nosso caso L_{0}=1-0{,}5=0{,}5. Substituindo:
\frac{0{,}5}{2^{n+1}}\le0{,}005 \quad\Longrightarrow\quad 2^{n+1}\ge\frac{0{,}5}{0{,}005}=100.
Tomando logaritmo na base 2:
n+1\ge\log_{2}(100)\approx6{,}64385619\quad\Rightarrow\quad n\ge5{,}64385619.
Como n deve ser inteiro (número de iterações), o menor n que satisfaz é n=6. Verificação rápida:
  • Se n=5: \dfrac{0{,}5}{2^{6}}=\dfrac{0{,}5}{64}=0{,}0078125>0{,}005 (insuficiente).
  • Se n=6: \dfrac{0{,}5}{2^{7}}=\dfrac{0{,}5}{128}=0{,}00390625\le0{,}005 (suficiente).
Portanto são necessárias, no mínimo, 6 iterações da Bisseção para garantir duas casas decimais corretas.

Passo 5

Agora a parte (c): calcular \left|x_{4}-x_{3}\right|, onde \left(x_{k}\right) é a sequência de aproximações obtida pelo Método da Bisseção.
Defino a convenção usada (padrão de exercícios): x_{k} é o ponto médio do intervalo obtido após k iterações, com x_{0} sendo o primeiro ponto médio do intervalo inicial [0{,}5,1]. Assim:
x_{0}=\frac{0{,}5+1}{2}=0{,}75=\frac{3}{4}.
Vou construir as primeiras iterações explicitamente (cada passo: calcular x_{k}, avaliar f(x_{k}) para escolher em qual metade está a raiz, e obter o próximo intervalo). Trabalho com frações binárias (elas ficam exatas) e faço aproximações de f só para determinar o sinal.
  1. Iteração 0:
x_{0}=\tfrac{3}{4}=0{,}75.
Calculando o sinal:
f(0{,}75)=0{,}75\,e^{0{,}75}-1\approx0{,}75\cdot2{,}117000016-1\approx0{,}58775>0.
Como f(0{,}5)<0 e f(0{,}75)>0, a raiz fica em [0{,}5,0{,}75].
  1. Iteração 1:
x_{1}=\frac{0{,}5+0{,}75}{2}=0{,}625=\tfrac{5}{8}.
Avaliação:
f(0{,}625)=0{,}625\,e^{0{,}625}-1\approx0{,}625\cdot1{,}868245838-1\approx0{,}16765>0.
Logo a raiz está em [0{,}5,0{,}625].
  1. Iteração 2:
x_{2}=\frac{0{,}5+0{,}625}{2}=0{,}5625=\tfrac{9}{16}.
Avaliação aproximada (usei e^{0{,}5625}=e^{0{,}5}e^{0{,}0625} e série para e^{0{,}0625}):
e^{0{,}5625}\approx1{,}754936\quad\Rightarrow\quad f(0{,}5625)\approx0{,}5625\cdot1{,}754936-1\approx-0{,}012997<0.
Agora f(x_{2})<0 e f(x_{1})>0, então a raiz está em [0{,}5625,0{,}625].
  1. Iteração 3:
x_{3}=\frac{0{,}5625+0{,}625}{2}=0{,}59375=\tfrac{19}{32}.
Avaliação aproximada (usei e^{0{,}59375}=e^{0{,}5625}e^{0{,}03125}):
e^{0{,}59375}\approx1{,}80918\quad\Rightarrow\quad f(0{,}59375)\approx0{,}59375\cdot1{,}80918-1\approx0{,}074>0.
Então a raiz está em [0{,}5625,0{,}59375].
  1. Iteração 4:
x_{4}=\frac{0{,}5625+0{,}59375}{2}=0{,}578125=\tfrac{37}{64}.
Agora calculo a diferença pedida:
\left|x_{4}-x_{3}\right|=\left|0{,}578125-0{,}59375\right|=0{,}015625.
Em fração exata:
0{,}015625=\frac{1}{64}.
Observação geral (fórmula): de modo geral, para o esquema que adotei, vale
\left|x_{k+1}-x_{k}\right|=\frac{b-a}{2^{k+2}},
o que para k=3 \dfrac{0{,}5}{2^{5}}=\dfrac{0{,}5}{32}=0{,}015625, consistente com o cálculo acima.

Resposta

(a) A equação possui pelo menos uma raiz em [0{,}5,1] pelo Teorema do Valor Intermediário.
(b) 6 iterações (mínimo) pelo Método da Bisseção.
(c) \left|x_{4}-x_{3}\right|=0{,}015625=\dfrac{1}{64}.

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