Exercício 2. Considere a equação diferencial
, onde
e
.
(a) Suponha para
que a equação é um modelo para o crescimento de uma população de pequenos animais, onde o tempo
é mensurado em meses. Resolva a equação diferencial sujeita a condição inicial
e o fato de que a população animal dobrou em 5 meses;
(b) Determine o tempo
de modo que
;
(c) Calcule
e
.
(a) Suponha para
(b) Determine o tempo
(c) Calcule
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
com
e
. Para as várias partes temos as seguintes informações e pedidos:
- (a) Para
o tempo está em meses. Dados: (condição inicial) e a população dobrou em 5 meses, isto é . Pede-se resolver a equação diferencial sujeita a essas condições e determinar a constante . - (b) Determinar o tempo
tal que (tempo de “explosão” da solução). - (c) Calcular
e .
Essas são todas as informações fornecidas. A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Vamos resolver a equação diferencial usando separação de variáveis (método direto e simples para equações da forma produto de função de
por função de
). Explico rapidamente a ideia: se a equação é
, podemos escrever
e integrar os dois lados; assim isolamos
em função de
.
Aplicando isso aqui:
Integramos ambos os lados. Para integrar o lado em
precisamos da primitiva de
. Observe que a derivada de
é
. Portanto
onde
é constante de integração (válido para
; no nosso caso
). Integrando o lado de tempo obtemos
. Igualando as primitivas e reunindo constantes em uma só constante
temos:
Passo 3
Agora isolamos
. Multiplicando por
obtemos
onde defini
(constante). Usando a condição inicial
temos
Logo a solução geral (com a condição inicial aplicada) fica
Desse modo
Essa é a fórmula que vamos usar nas partes (a)–(c). Repare que a expressão no parêntese no denominador deve ser positiva para
ser finito e positivo; quando ela chega a zero ocorre a “explosão”
.
Passo 4
Agora use a informação de que a população dobrou em 5 meses:
. Aplicando à fórmula:
Isolando
,
Agora substituímos
. Para calcular as potências escrevo-as com exponencial natural:
Numérica e com precisão suficiente:
Então
Portanto
Passo 5
Com
conhecido, podemos escrever explicitamente
para
:
Também é útil observar que
. Com os números acima
.
Passo 6
Parte (b): tempo
de explosão. A explosão ocorre quando a base do parêntese vira zero:
Substituindo a expressão de
(para simplificação):
Isso elimina
da expressão final. Com
e os valores numéricos:
Ou seja, a solução “explode” aproximadamente em
meses (cerca de
anos).
Passo 7
Parte (c): calcular
e
.
Usamos a fórmula
com
.
Para
:
Então
Portanto
(aprox.
indivíduos).
Para
:
Então
Portanto
indivíduos (aprox.
milhões).
Resposta
(a)
com
(b)
(c)