Exercício 2. Considere a equação diferencial \frac{d P}{d t}=k P^{1+c}, onde k>0 e c \geq 0.
(a) Suponha para c=0,01 que a equação é um modelo para o crescimento de uma população de pequenos animais, onde o tempo t é mensurado em meses. Resolva a equação diferencial sujeita a condição inicial P(0)=10 e o fato de que a população animal dobrou em 5 meses;
(b) Determine o tempo T de modo que \lim _{t \rightarrow T^{-}} P(t)=\infty;
(c) Calcule P(50) e P(100).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dP}{dt}=k\,P^{1+c},
com k>0 e c\ge 0. Para as várias partes temos as seguintes informações e pedidos:
  • (a) Para c=0{,}01 o tempo t está em meses. Dados: P(0)=10 (condição inicial) e a população dobrou em 5 meses, isto é P(5)=20. Pede-se resolver a equação diferencial sujeita a essas condições e determinar a constante k.
  • (b) Determinar o tempo T tal que \displaystyle\lim_{t\to T^-}P(t)=\infty (tempo de “explosão” da solução).
  • (c) Calcular P(50) e P(100).
Essas são todas as informações fornecidas. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Vamos resolver a equação diferencial usando separação de variáveis (método direto e simples para equações da forma produto de função de P por função de t). Explico rapidamente a ideia: se a equação é \dfrac{dP}{dt}=f(P), podemos escrever \dfrac{dP}{f(P)}=dt e integrar os dois lados; assim isolamos P em função de t.
Aplicando isso aqui:
\frac{dP}{dt}=k\,P^{1+c}\quad\Longrightarrow\quad P^{-1-c}\,dP = k\,dt.
Integramos ambos os lados. Para integrar o lado em P precisamos da primitiva de P^{-1-c}. Observe que a derivada de P^{-c} é -cP^{-c-1}. Portanto
\int P^{-1-c}\,dP = -\frac{1}{c}P^{-c} + C,
onde C é constante de integração (válido para c\neq 0; no nosso caso c=0{,}01\neq0). Integrando o lado de tempo obtemos \int k\,dt = k t + C'. Igualando as primitivas e reunindo constantes em uma só constante C temos:
-\frac{1}{c}P^{-c} = k t + C.

Passo 3

Agora isolamos P. Multiplicando por -c obtemos
P^{-c} = -c(k t + C) = -c k t + A,
onde defini A=-cC (constante). Usando a condição inicial P(0)=10 temos
10^{-c} = P(0)^{-c} = A.
Logo a solução geral (com a condição inicial aplicada) fica
P^{-c}(t) = 10^{-c} - c k t.
Desse modo
\boxed{P(t)=\bigl(10^{-c} - c k t\bigr)^{-1/c}.}
Essa é a fórmula que vamos usar nas partes (a)–(c). Repare que a expressão no parêntese no denominador deve ser positiva para P(t) ser finito e positivo; quando ela chega a zero ocorre a “explosão” P\to\infty.

Passo 4

Agora use a informação de que a população dobrou em 5 meses: P(5)=20. Aplicando à fórmula:
20^{-c} = 10^{-c} - c k \cdot 5.
Isolando k,
c k \cdot 5 = 10^{-c} - 20^{-c}\quad\Longrightarrow\quad k = \frac{10^{-c} - 20^{-c}}{5c}.
Agora substituímos c=0{,}01. Para calcular as potências escrevo-as com exponencial natural:
10^{-0{,}01}=e^{-0{,}01\ln 10},\qquad 20^{-0{,}01}=e^{-0{,}01\ln 20}.
Numérica e com precisão suficiente:
10^{-0{,}01}\approx 0{,}977237211,\qquad 20^{-0{,}01}\approx 0{,}970486921.
Então
10^{-c}-20^{-c}\approx 0{,}006750290.
Portanto
k \approx \frac{0{,}006750290}{5\cdot 0{,}01}=\frac{0{,}006750290}{0{,}05}\approx 0{,}1350058\\ \text{(por mês)}.ê

Passo 5

Com k conhecido, podemos escrever explicitamente P(t) para c=0{,}01:
P(t)=\bigl(10^{-0{,}01}-0{,}01\cdot k\, t\bigr)^{-1/0{,}01}=\bigl(10^{-0{,}01}-0{,}01 k t\bigr)^{-100}.
Também é útil observar que c k = 0{,}01\cdot k. Com os números acima c k\approx 0{,}0013500578.

Passo 6

Parte (b): tempo T de explosão. A explosão ocorre quando a base do parêntese vira zero:
10^{-c} - c k T = 0 \quad\Longrightarrow\quad T=\frac{10^{-c}}{c k}.
Substituindo a expressão de k (para simplificação):
T = \frac{10^{-c}}{c}\cdot\frac{1}{k} = \frac{10^{-c}}{c}\cdot\frac{5c}{10^{-c}-20^{-c}} = 5\cdot\frac{10^{-c}}{10^{-c}-20^{-c}}.
Isso elimina c da expressão final. Com c=0{,}01 e os valores numéricos:
T \approx 5\cdot\frac{0{,}977237211}{0{,}006750290}\approx 724{,}06\\ \text{meses}.
Ou seja, a solução “explode” aproximadamente em T\approx 724{,}06 meses (cerca de 60{,}3 anos).

Passo 7

Parte (c): calcular P(50) e P(100).
Usamos a fórmula
P(t)=\bigl(10^{-0{,}01}-0{,}01 k t\bigr)^{-100},
com 0{,}01 k \approx 0{,}0013500578.
Para t=50:
\text{base }A_{50}=10^{-0{,}01}-0{,}01 k\cdot 50 \approx 0{,}977237211 - 0{,}0013500578\cdot 50 \approx 0{,}909734322.
Então
P(50)=A_{50}^{-100} = e^{-100\ln A_{50}}\approx e^{9{,}46069}\approx 1{,}2845\times 10^{4}.
Portanto P(50)\approx 1{,}28\times 10^{4} (aprox. 12{,}845 indivíduos).
Para t=100:
\text{base }A_{100}=10^{-0{,}01}-0{,}01 k\cdot 100 \approx 0{,}977237211 - 0{,}0013500578\cdot 100 \approx 0{,}842231431.
Então
P(100)=A_{100}^{-100} = e^{-100\ln A_{100}}\approx e^{17{,}16576}\approx 2{,}85\times 10^{7}.
Portanto P(100)\approx 2{,}85\times 10^{7} indivíduos (aprox. 28{,}5 milhões).

Resposta

(a) P(t)=\bigl(10^{-0{,}01}-0{,}01\,k\,t\bigr)^{-100} com \displaystyle k=\frac{10^{-0{,}01}-20^{-0{,}01}}{5\cdot 0{,}01}\approx 0{,}1350058.
(b) T=\dfrac{10^{-0{,}01}}{0{,}01\,k}=5\cdot\dfrac{10^{-0{,}01}}{10^{-0{,}01}-20^{-0{,}01}}\approx 724{,}06\\ \text{meses}.
(c) P(50)\approx 1{,}28\times 10^{4},\quad P(100)\approx 2{,}85\times 10^{7}.

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