Exercício 3. Considere uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes dada por
a y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+c y=\cos (\gamma t)
Descreva o método para obter a solução geral desta equação.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
a\,y''+b\,y'+c\,y=\cos(\gamma t),
onde a,b,c,\gamma são constantes (assuma a\neq0). A pergunta é: descrever o método para obter a solução geral dessa equação.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\;a,b,c,\gamma constantes; termo não homogêneo \cos(\gamma t); equação é linear de ordem 2 com coeficientes constantes.
O que se pede: procedimento passo a passo para achar a solução geral y(t) (solução da homogênea + uma particular).

Passo 2

Primeiro passo efetivo: encontrar a solução geral da equação homogênea associada
a\,y''+b\,y'+c\,y=0.
Para isso montamos a equação característica (polinomial) em r:
a r^{2}+b r+c=0.
As raízes dessa equação quadrática determinam a forma de y_{h}(t). Calcule as raízes por
r_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Formas de y_{h}(t):
  • Se r_{1}\neq r_{2} reais distintos, então
y_{h}(t)=C_{1}e^{r_{1}t}+C_{2}e^{r_{2}t}.
  • Se r_{1}=r_{2}=r real duplo, então
y_{h}(t)=(C_{1}+C_{2}t)e^{rt}.
  • Se r_{1,2}=\alpha\pm i\beta complexos conjugados ( \beta>0), então
y_{h}(t)=e^{\alpha t}\big(C_{1}\cos(\beta t)+C_{2}\sin(\beta t)\big).
Expliquei por que: a equação homogênea é linear com coeficientes constantes, então exponenciais e^{rt} são soluções formais; a combinação linear das duas soluções independentes dá a solução geral.

Passo 3

Agora: achar uma solução particular y_{p}(t) para a parte forçada \cos(\gamma t). O método mais direto aqui é o método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients). A ideia é tentar uma forma de y_{p} que tenha a mesma estrutura do forçante. Como o lado direito é combinação de \cos(\gamma t) e \sin(\gamma t), tentamos
y_{p}(t)=A\cos(\gamma t)+B\sin(\gamma t),
onde A e B são constantes a determinar. (Observação importante: isso vale desde que a forma tentada não seja solução da homogênea — veremos a exceção de ressonância depois.)

Passo 4

Calcule as derivadas de y_{p} e substitua na equação para achar A e B. Derivadas:
y_{p}'(t)=-A\gamma\sin(\gamma t)+B\gamma\cos(\gamma t),
y_{p}''(t)=-A\gamma^{2}\cos(\gamma t)-B\gamma^{2}\sin(\gamma t).
Substituindo em a y''+b y'+c y=\cos(\gamma t) obtemos (reagrupando os coeficientes de \cos e \sin):
\big((c-a\gamma^{2})A + b\gamma B\big)\cos(\gamma t) +\big(-b\gamma A + (c-a\gamma^{2})B\big)\sin(\gamma t)=\cos(\gamma t).
Isto gera o sistema linear para A,B:
\begin{cases} (c-a\gamma^{2})A + b\gamma B = 1,\\[6pt] - b\gamma A + (c-a\gamma^{2})B = 0. \end{cases}]

Passo 5

Resolva o sistema para A e B. O determinante do sistema é
D=(c-a\gamma^{2})^{2}+(b\gamma)^{2}.
Assumindo D\neq 0 (caso não-resonante), as soluções são
A=\frac{c-a\gamma^{2}}{D},\qquad B=\frac{b\gamma}{D}.
Portanto uma solução particular é
y_{p}(t)=\frac{c-a\gamma^{2}}{D}\cos(\gamma t)+\frac{b\gamma}{D}\sin(\gamma t).

Passo 6

Forma alternativa (amplitude e fase) — útil para interpretar a resposta estacionária: podemos escrever y_{p} como uma única cosseno com fase:
y_{p}(t)=R\cos(\gamma t-\varphi),
onde
R=\sqrt{A^{2}+B^{2}}=\frac{1}{\sqrt{(c-a\gamma^{2})^{2}+(b\gamma)^{2}}}
e
\varphi=\operatorname{atan2}\big(B,A\big)=\arctan\!\bigg(\frac{b\gamma}{\,c-a\gamma^{2}\,}\bigg)
(não esqueça a regra do quadrante ao avaliar \arctan). Essa forma mostra que a resposta forçada tem amplitude R e defasagem \varphi em relação à força \cos(\gamma t).

Passo 7

Caso especial (ressonância): o que acontece se D=0?
O determinante D é zero exatamente quando (c-a\gamma^{2})=0 e b\gamma=0 simultaneamente. Como \gamma é dado, isso implica tipicamente b=0 e c=a\gamma^{2}. Nesse caso os termos \cos(\gamma t) e \sin(\gamma t) aparecem na solução homogênea (i.e. r=\pm i\gamma são raízes da característica) e a tentativa direta falha. A regra geral: se a forma tentativa coincide com uma solução homogênea de multiplicidade s, multiplica-se a tentativa por t^{s}. Aqui a multiplicidade é 1, então tentamos
y_{p}(t)=t\big(A\cos(\gamma t)+B\sin(\gamma t)\big).
Para o caso b=0 e c=a\gamma^{2} (aqui faço as contas explicitamente): calculando y_{p}'' e substituindo, as partes proporcionais a t se cancelam e sobra uma condição que dá
-2aA\gamma\,\sin(\gamma t)+2aB\gamma\,\cos(\gamma t)=\cos(\gamma t).
Igualando coeficientes resulta em A=0 e B=\dfrac{1}{2a\gamma}. Assim
y_{p}(t)=\frac{t}{2a\gamma}\sin(\gamma t).
Observação importante: esse y_{p} cresce linearmente em t (solução não limitada) — é a manifestação matemática da ressonância (resposta não acotada quando não há amortecimento b=0 e a frequência for igual à natural).

Passo 8

Solução geral final: some homogênea + particular.
  • Se não há ressonância ( D\neq0):
y(t)=y_{h}(t)+\frac{c-a\gamma^{2}}{D}\cos(\gamma t)+\frac{b\gamma}{D}\sin(\gamma t),
com y_{h}(t) dado conforme as raízes da característica no Passo 2 e D=(c-a\gamma^{2})^{2}+(b\gamma)^{2}.
  • Se há ressonância ( b=0 e c=a\gamma^{2}):
y(t)=y_{h}(t)+\frac{t}{2a\gamma}\sin(\gamma t),
onde nesse caso y_{h}(t)=C_{1}\cos(\gamma t)+C_{2}\sin(\gamma t).

Passo 9

Resumo prático (o “checklist” para a hora da prova):
  1. Resolva a r^{2}+b r+c=0 e escreva y_{h} conforme as raízes.
  2. Teste se r=\pm i\gamma são raízes (i.e. verifique se D=0).
  3. Se não for ressonante, tente y_{p}=A\cos\gamma t+B\sin\gamma t, substitua e resolva o sistema para A,B.
  4. Se for ressonante, multiplique a tentativa por t: y_{p}=t(A\cos\gamma t+B\sin\gamma t) e determine A,B.
  5. Escreva y=y_{h}+y_{p} e aplique condições iniciais se houver.

Resposta

y(t)=y_{h}(t)+y_{p}(t),
onde y_{h}(t) é a solução da homogênea obtida pelas raízes de \;a r^{2}+b r+c=0\; (formas indicadas no Passo 2) e
y_{p}(t)= \begin{cases} \dfrac{c-a\gamma^{2}}{D}\cos(\gamma t)+\dfrac{b\gamma}{D}\sin(\gamma t), & D=(c-a\gamma^{2})^{2}+(b\gamma)^{2}\neq0,\\[8pt] \dfrac{t}{2a\gamma}\sin(\gamma t), & \text{se }b=0\text{ e }c=a\gamma^{2}\\ (\text{ressonância}). \end{cases}â]

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