Exercício 3. Considere uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes dada por
Descreva o método para obter a solução geral desta equação.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
onde
são constantes (assuma
). A pergunta é: descrever o método para obter a solução geral dessa equação.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
constantes; termo não homogêneo
; equação é linear de ordem 2 com coeficientes constantes.
O que se pede: procedimento passo a passo para achar a solução geral (solução da homogênea + uma particular).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
O que se pede: procedimento passo a passo para achar a solução geral
Passo 2
Primeiro passo efetivo: encontrar a solução geral da equação homogênea associada
Para isso montamos a equação característica (polinomial) em
:
As raízes dessa equação quadrática determinam a forma de
. Calcule as raízes por
Formas de
:
- Se
reais distintos, então
- Se
real duplo, então
- Se
complexos conjugados ( ), então
Expliquei por que: a equação homogênea é linear com coeficientes constantes, então exponenciais
são soluções formais; a combinação linear das duas soluções independentes dá a solução geral.
Passo 3
Agora: achar uma solução particular
para a parte forçada
. O método mais direto aqui é o método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients). A ideia é tentar uma forma de
que tenha a mesma estrutura do forçante. Como o lado direito é combinação de
e
, tentamos
onde
e
são constantes a determinar. (Observação importante: isso vale desde que a forma tentada não seja solução da homogênea — veremos a exceção de ressonância depois.)
Passo 4
Calcule as derivadas de
e substitua na equação para achar
e
. Derivadas:
Substituindo em
obtemos (reagrupando os coeficientes de
e
):
Isto gera o sistema linear para
:
Passo 5
Resolva o sistema para
e
. O determinante do sistema é
Assumindo
(caso não-resonante), as soluções são
Portanto uma solução particular é
Passo 6
Forma alternativa (amplitude e fase) — útil para interpretar a resposta estacionária: podemos escrever
como uma única cosseno com fase:
onde
e
(não esqueça a regra do quadrante ao avaliar
). Essa forma mostra que a resposta forçada tem amplitude
e defasagem
em relação à força
.
Passo 7
Caso especial (ressonância): o que acontece se
?
O determinante é zero exatamente quando
e
simultaneamente. Como
é dado, isso implica tipicamente
e
. Nesse caso os termos
e
aparecem na solução homogênea (i.e.
são raízes da característica) e a tentativa direta falha. A regra geral: se a forma tentativa coincide com uma solução homogênea de multiplicidade
, multiplica-se a tentativa por
. Aqui a multiplicidade é
, então tentamos
O determinante
Para o caso
e
(aqui faço as contas explicitamente): calculando
e substituindo, as partes proporcionais a
se cancelam e sobra uma condição que dá
Igualando coeficientes resulta em
e
. Assim
Observação importante: esse
cresce linearmente em
(solução não limitada) — é a manifestação matemática da ressonância (resposta não acotada quando não há amortecimento
e a frequência for igual à natural).
Passo 8
Solução geral final: some homogênea + particular.
- Se não há ressonância (
):
com
dado conforme as raízes da característica no Passo 2 e
.
- Se há ressonância (
e ):
onde nesse caso
.
Passo 9
Resumo prático (o “checklist” para a hora da prova):
- Resolva
e escreva conforme as raízes. - Teste se
são raízes (i.e. verifique se ). - Se não for ressonante, tente
, substitua e resolva o sistema para . - Se for ressonante, multiplique a tentativa por
: e determine . - Escreva
e aplique condições iniciais se houver.
Resposta
onde
é a solução da homogênea obtida pelas raízes de
(formas indicadas no Passo 2) e