Esboce as curvas de nível da função
para
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de curvas de nível! A questão pede para esboçarmos as curvas de nível da função
para os valores
e
. Para isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como encontrar essas curvas para a função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma curva de nível. Uma curva de nível para uma função de duas variáveis
é o conjunto de pontos
onde a função assume um valor constante
, ou seja,
. Essas curvas nos ajudam a visualizar como a função se comporta em diferentes pontos do plano.
Passo 3
Agora, aplicando isso à nossa função
, queremos encontrar as curvas onde
. Vamos resolver essa equação para
e
:
Passo 4
Para eliminar a raiz quadrada, elevamos ambos os lados ao quadrado:
Passo 5
Rearranjando os termos para isolar
:
Passo 6
Essa é a equação de um círculo com centro na origem
e raio
. Portanto, para cada valor de
, a curva de nível será um círculo com esse raio.
Passo 7
Vamos analisar os casos específicos:
Para
:
Isso representa um círculo com raio
.
Para
:
Isso significa que
e
, ou seja, o ponto
.
Resposta
As curvas de nível da função
são:
- Para
: Um círculo de raio 3 centrado na origem, dado por . - Para
: O ponto .