Esboce as curvas de nível da função g(x, y) = raiz(9 - x^2 - y^2) para k = 0 e k = 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de curvas de nível! A questão pede para esboçarmos as curvas de nível da função para os valores e . Para isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como encontrar essas curvas para a função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma curva de nível. Uma curva de nível para uma função de duas variáveis é o conjunto de pontos onde a função assume um valor constante , ou seja, . Essas curvas nos ajudam a visualizar como a função se comporta em diferentes pontos do plano.

Passo 3

Agora, aplicando isso à nossa função , queremos encontrar as curvas onde . Vamos resolver essa equação para e :

Passo 4

Para eliminar a raiz quadrada, elevamos ambos os lados ao quadrado:

Passo 5

Rearranjando os termos para isolar :

Passo 6

Essa é a equação de um círculo com centro na origem e raio . Portanto, para cada valor de , a curva de nível será um círculo com esse raio.

Passo 7

Vamos analisar os casos específicos:
Para :
Isso representa um círculo com raio .
Para :
Isso significa que e , ou seja, o ponto .

Resposta

As curvas de nível da função são:
  • Para : Um círculo de raio 3 centrado na origem, dado por .
  • Para : O ponto .

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