Exercício 6. (Apostol, capítulo 5.11, exercício 12) Seja A in Mn times n(C). Se A é autoadjunta e todos os autovalores são iguais a lambda in R, mostre que A=lambda I.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma matriz Ain Mntimes n(C) que é autoadjunta (isto é, A=A^*) e cujos autovalores são todos iguais a um mesmo lambdainR. Queremos mostrar que necessariamente
A = lambda I
O conteúdo que vamos usar é o Teorema espectral para matrizes hermitianas, que afirma que toda matriz autoadjunta é diagonalizável por uma matriz unitária.

Passo 2

Pelo Teorema espectral, existe uma matriz unitária U (ou seja, U^*U=UU^*=I) e uma matriz diagonal real D tais que
A = U,D,U^*
Os elementos da diagonal de D são exatamente os autovalores de A.

Passo 3

Pela hipótese, todos os autovalores de A valem lambda. Logo a matriz diagonal D é
D = diag(lambda,lambda,dots,lambda) = lambda I
Substituindo em A = U,D,U^*, temos
A = U,(lambda I),U^* = lambda,(U,U^*) = lambda I,
onde usamos U,U^*=I.

Resposta

A = lambda I

Exercícios relacionados