Exercício 6. (Apostol, capítulo 5.11, exercício 12) Seja
. Se
é autoadjunta e todos os autovalores são iguais a
, mostre que
.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma matriz
que é autoadjunta (isto é,
) e cujos autovalores são todos iguais a um mesmo
. Queremos mostrar que necessariamente
O conteúdo que vamos usar é o Teorema espectral para matrizes hermitianas, que afirma que toda matriz autoadjunta é diagonalizável por uma matriz unitária.
Passo 2
Pelo Teorema espectral, existe uma matriz unitária
(ou seja,
) e uma matriz diagonal real
tais que
Os elementos da diagonal de
são exatamente os autovalores de
.
Passo 3
Pela hipótese, todos os autovalores de
valem
. Logo a matriz diagonal
é
Substituindo em
, temos
onde usamos
.