1-8 Sejam P=(2,-2,1) e alpha a reta alpha(t)=(1+2 t, 2-3 t,-3+2 t), t in R. Seja pi o plano que contém P cup tr alpha.
(a) Encontre g: R^2 longrightarrow R^3 que parametrize pi.
(b) Encontre uma definição implícita para pi.
(c) Encontre f: R^2 longrightarrow R tal que o plano pi coincida com o seu gráfico.

Passo 1

O enunciado dá o ponto P=(2,-2,1) e a reta alpha(t)=(1+2t,2-3t,-3+2t). O plano pi é o que contém P e toda imagem de alpha. Vamos:
  1. achar duas direções no plano e usar para parametrizar pi (item a);
  2. obter o vetor normal por produto vetorial e escrever a equação implícita (item b);
  3. isolar z na equação implícita para escrever z=f(x,y) (item c).

Passo 2

Para parametrizar pi, precisamos de um ponto e de dois vetores diretores.
Escolhemos
v=alpha'(t)=(2,-3,2)
e um vetor que leva P a um ponto de alpha. Para t=0, alpha(0)=(1,2,-3), então
u=alpha(0)-P=(1-2,,2+2,,-3-1)=(-1,4,-4).
Assim uma parametrização é
g(r,s)=P+r,v+s,u = (2,-2,1)+r(2,-3,2)+s(-1,4,-4)

Passo 3

Para a forma implícita, calculamos o normal n=vtimesu.
n =det i&j&k 2&-3&2 -1&4&-4 =(4,6,5)
Logo a equação do plano é
4(x-2)+6(y+2)+5(z-1)=0,
que simplifica para
4x+6y+5z=1

Passo 4

Para escrever pi como gráfico de f(x,y), isolamos z em 4x+6y+5z=1:
5z=1-4x-6y Longrightarrow z=1-4x-6y5
Definimos então
f(x,y)=1-4x-6y5

Resposta

(a) g(r,s)=(2,-2,1)+r,(2,-3,2)+s,(-1,4,-4)
(b) pi:;4x+6y+5z=1
(c) f(x,y)=1-4x-6y5

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