1-8 Sejam e a reta . Seja o plano que contém .
(a) Encontre que parametrize .
(b) Encontre uma definição implícita para .
(c) Encontre tal que o plano coincida com o seu gráfico.
Passo 1
O enunciado dá o ponto e a reta . O plano é o que contém e toda imagem de . Vamos:
achar duas direções no plano e usar para parametrizar (item a);
obter o vetor normal por produto vetorial e escrever a equação implícita (item b);
isolar na equação implícita para escrever (item c).
Passo 2
Para parametrizar , precisamos de um ponto e de dois vetores diretores.
Escolhemos
e um vetor que leva a um ponto de . Para , , então .
Assim uma parametrização é
Passo 3
Para a forma implícita, calculamos o normal .
Logo a equação do plano é
4(x-2)+6(y+2)+5(z-1)=0,
que simplifica para
4x+6y+5z=1
Passo 4
Para escrever pi como gráfico de f(x,y), isolamos z em 4x+6y+5z=1: