1-9 Sejam Q=(-3,4,-2,11), P=(5,-3,2,6) e A=(2,-1,0,1) pontos do R^4 e L a reta que passa por P e é paralela a A.
(a) Se X=P+t A in L, mostre que d(Q, X)=raiz6 t^2+36 t+154.
(b) Mostre que existe um único ponto M in L tal que a distância f(t)=d(Q, X) é mínima.
(c) Mostre que o vetor M-Q é ortogonal à reta L.
(d) Considere o hiperplano H ortogonal a L e que passa por Q. Mostre que X= (x, y, z, t) in H Long<=ftrightarrow 2 x-y+t-1=0, H cap L=M e calcule a distância de P a H.
(e) Encontre funções g: R^3 longrightarrow R^4, f: R^3 longrightarrow R e h: R^4 longrightarrow R para as quais o hiperplano H é imagem, gráfico e superfície de nível, respectivamente.

Passo 1

O enunciado trabalha com pontos em R^4, distância, otimização de uma função quadrática, ortogonalidade de vetores, equação de hiperplano e distância de ponto a hiperplano. Precisamos de:
  1. Produto interno e norma em R^4 para obter d(Q,X).
  2. Minimizar a função quadrática em t para achar o ponto M.
  3. Verificar ortogonalidade via produto interno.
  4. Equação de hiperplano com normal paralelo a A, interseção com a reta e fórmula da distância de ponto a hiperplano.
  5. Parametrização, gráfico de função e forma de nível para representar H.

Passo 2

Parametrizamos a reta L por
X(t)=P+t,A=(5+2t,,-3-t,,2,,6+t)
Então
X(t)-Q =(5+2t -(-3),,-3-t-4,;2-(-2),;6+t-11) =(2t+8,,-t-7,;4,;t-5)
Logo,
d(Q,X(t))=|X(t)-Q| =raiz(2t+8)^2+(-t-7)^2+4^2+(t-5)^2 =raiz6t^2+36t+154

Passo 3

Para minimizar f(t)=d(Q,X(t)) basta minimizar o quadrado
g(t)=6t^2+36t+154
Como é uma parábola com coeficiente de t^2 positivo, o mínimo único ocorre em
t^*=-362cdot6=-3
Denotamos M=X(-3), que é o ponto de distância mínima.

Passo 4

O vetor diretor da reta é A=(2,-1,0,1). Em t=-3,
M-Q=X(-3)-Q=(2cdot(-3)+8,,-(-3)-7,,4,,(-3)-5)=(2,-4,4,-8)
Seu produto interno com A é
lang<= M-Q,,Arang<= =2cdot2+(-4)cdot(-1)+4cdot0+(-8)cdot1 =4+4+0-8=0,
logo M-Qperp A, isto é, ortogonal à reta L.

Passo 5

O hiperplano H ortogonal a L tem normal A e passa por Q. A equação em coordenadas (x,y,z,t) é
2(x+3)-1(y-4)+0(z+2)+1(t-11)=0 Longrightarrow 2x - y + t -1 = 0
Para ver Hcap L, reescrevemos a reta com parâmetro lambda:
X(lambda)=(5+2lambda,,-3-lambda,,2,,6+lambda),
substituímos em 2x - y + t -1=0 e achamos lambda=-3, ou seja, interseção só em M.
A distância de P a H é
l|2cdot5 -(-3)+6 -1r||A| =|10+3+6-1|raiz2^2+(-1)^2+1^2 =18raiz6 =3raiz6

Passo 6

Podemos descrever H de três maneiras:
  1. Parametrização g:R^3toR^4. Seja (u,v,w)mapsto
g(u,v,w) =l(u,;2u+w-1,;v,;wr),
que satisfaz 2u-(2u+w-1)+w-1=0.
  1. Gráfico de função f:R^3toR. Das coordenadas (x,y,z) expressamos
t=f(x,y,z)=-2x+y+1,
então
(x,y,z,f(x,y,z))=H.
  1. Forma de nível h:R^4toR. Definimos
h(x,y,z,t)=2x-y+t-1,
então
h=0=H.

Resposta

(a) d(Q,X(t))=raiz6t^2+36t+154
(b) Mínimo único em t=-3, ponto M=X(-3).
(c) lang<= M-Q,,Arang<==0.
(d) H:;2x - y + t -1=0, Hcap L=M, dist(P,H)=3raiz6
(e)
g(u,v,w)=(u,2u+w-1,v,w), f(x,y,z)=-2x+y+1, h(x,y,z,t)=2x-y+t-1

Exercícios relacionados