1-9 Sejam e pontos do e a reta que passa por e é paralela a .
(a) Se , mostre que .
(b) Mostre que existe um único ponto tal que a distância é mínima.
(c) Mostre que o vetor é ortogonal à reta .
(d) Considere o hiperplano ortogonal a e que passa por . Mostre que e calcule a distância de a .
(e) Encontre funções e para as quais o hiperplano é imagem, gráfico e superfície de nível, respectivamente.
Passo 1
O enunciado trabalha com pontos em , distância, otimização de uma função quadrática, ortogonalidade de vetores, equação de hiperplano e distância de ponto a hiperplano. Precisamos de:
Produto interno e norma em para obter .
Minimizar a função quadrática em para achar o ponto .
Verificar ortogonalidade via produto interno.
Equação de hiperplano com normal paralelo a , interseção com a reta e fórmula da distância de ponto a hiperplano.
Parametrização, gráfico de função e forma de nível para representar .
Passo 2
Parametrizamos a reta por
Então
Logo,
Passo 3
Para minimizar basta minimizar o quadrado
Como é uma parábola com coeficiente de positivo, o mínimo único ocorre em
Denotamos , que é o ponto de distância mínima.
Passo 4
O vetor diretor da reta é . Em ,
Seu produto interno com é
logo , isto é, ortogonal à reta .
Passo 5
O hiperplano ortogonal a tem normal e passa por . A equação em coordenadas é
Para ver , reescrevemos a reta com parâmetro :
substituímos em e achamos , ou seja, interseção só em .
A distância de a é
Passo 6
Podemos descrever H de três maneiras:
Parametrização g:R^3toR^4. Seja (u,v,w)mapsto
g(u,v,w) =l(u,;2u+w-1,;v,;wr),
que satisfaz 2u-(2u+w-1)+w-1=0.
Gráfico de função f:R^3toR. Das coordenadas (x,y,z) expressamos
t=f(x,y,z)=-2x+y+1,
então (x,y,z,f(x,y,z))=H.
Forma de nível h:R^4toR. Definimos
h(x,y,z,t)=2x-y+t-1,
então h=0=H.
Resposta
(a) d(Q,X(t))=raiz6t^2+36t+154
(b) Mínimo único em t=-3, ponto M=X(-3).
(c) lang<= M-Q,,Arang<==0.
(d) H:;2x - y + t -1=0, Hcap L=M, dist(P,H)=3raiz6
(e) g(u,v,w)=(u,2u+w-1,v,w), f(x,y,z)=-2x+y+1, h(x,y,z,t)=2x-y+t-1