Exercício 7. (Apostol, capítulo 5.11, exercício 14) Para cada uma das afirmações, prove ou dê um contraexemplo. Abaixo
e
são matrizes em
:
Se
e
são unitárias, então
é unitária.
Se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
e
são matrizes unitárias em
, então o produto
também é unitário. Lembrando que uma matriz
é unitária se satisfaz
onde
é a transposta conjugada de
. Para resolver, vamos usar a propriedade
e as definições de
e
unitárias.
Passo 2
Como
e
são unitárias, temos
Agora calculamos
Portanto
, que é exatamente a condição para
ser unitária.
Resposta
O produto
de matrizes unitárias
e
também é unitário.