Exercício 7. (Apostol, capítulo 5.11, exercício 14) Para cada uma das afirmações, prove ou dê um contraexemplo. Abaixo A e B são matrizes em Mn times n(C) :
Se A e B são unitárias, então A B é unitária.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se A e B são matrizes unitárias em Mntimes n(C), então o produto AB também é unitário. Lembrando que uma matriz U é unitária se satisfaz
U^*,U = I,
onde U^* é a transposta conjugada de U. Para resolver, vamos usar a propriedade
(AB)^* = B^* A^*
e as definições de A e B unitárias.

Passo 2

Como A e B são unitárias, temos
A^* A = I e B^* B = I
Agora calculamos
(AB)^*(AB) = l(B^* A^*r),(A B) = B^*l(A^* Ar)B = B^* I ,B = B^* B = I
Portanto (AB)^*(AB)=I, que é exatamente a condição para AB ser unitária.

Resposta

O produto AB de matrizes unitárias A e B também é unitário.

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