Determine a derivada:
f(x)=e^3 x arcsen(2 x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=e^3x,arcsen(2x)
O conteúdo é derivada de produto de funções, então vamos usar a regra do produto e também a regra da cadeia para derivar a exponencial composta e a função arcsen(2x).

Passo 2

Aplicamos a regra do produto:
f'(x) = (e^3x)',arcsen(2x) + e^3x,(arcsen(2x))'
Além disso, sabemos que, pela regra da cadeia para a exponencial,
(e^3x)' = 3e^3x

Passo 3

Agora derivamos arcsen(2x). Pela regra da cadeia, com u=2x, temos
(arcsen(u))' = u'raiz1-u^2,
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(arcsen(2x))' = 2raiz1-(2x)^2 = 2raiz1-4x^2

Passo 4

Substituindo em f'(x), obtemos
f'(x) = 3e^3x,arcsen(2x) + e^3x,2raiz1-4x^2
Podemos ainda fatorar e^3x:
f'(x) = e^3xl(3,arcsen(2x) + 2raiz1-4x^2r)

Resposta

f'(x) = e^3xl(3,arcsen(2x) + 2raiz1-4x^2r)

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