Esboce o traço das seguintes curvas parametrizadas.
alpha(t)=(a cos t, a sen t, b t), t in R, a>0, b neq 0.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva parametrizada
alpha(t) = l(acos t,;asen t,;b,tr), tinR,;a>0,;bneq0
e pede para esboçar seu traço. O conteúdo aqui é identificação de curvas de revolução e hélices cilíndricas em R^3.

Passo 2

Analise a projeção de alpha no plano xy. Ignorando a componente z, temos
(x(t),y(t))=(acos t,;asen t),
que é exatamente a circunferência de raio a centrada na origem, percorrida uma vez à medida que t varia de 0 a 2pi.

Passo 3

Agora considere a componente vertical
z(t)=b,t
Como bneq0, z cresce (se b>0) ou decresce (se b<0) de forma linear com t. Após um giro completo t:0to2pi, a subida vertical é
De<a z = b,(2pi) = 2pi b
Esse valor 2pi b é o passo (pitch) da hélice.

Passo 4

Juntando as duas observações: no plano xy a curva dá voltas circulares de raio a, enquanto em z ela se desloca linearmente. O resultado é uma hélice cilíndrica de raio a em torno do eixo z, com passo vertical 2pi b. Se b>0, a hélice sobe enquanto gira no sentido anti-horário vista de cima; se b<0, desce nesse mesmo sentido.

Resposta

O traço de alpha é uma hélice cilíndrica de raio a em torno do eixo z, com passo vertical 2pi b.

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