Identifique e esboce o traço de cada superfície parametrizada, indicando as respectivas curvas coordenadas.
.
Passo 1
O enunciado dá a parametrização
Isso é exatamente a meia-esfera unitária acima do plano
em coordenadas esféricas (onde
é o ângulo azimutal e
é o ângulo polar). Para traçar as curvas de coordenadas, vamos fixar sucessivamente
constante (meridianos) e
constante (paralelos).
Passo 2
Curvas
fixo (paralelos)
Se é constante, a parametrização em função de
fica
Se
Geometricamente, é um círculo horizontal de raio
no plano
. Para cada
temos um paralelo; em particular, em
temos o círculo equatorial
Passo 3
Curvas
fixo (meridianos)
Se é constante, a parametrização em função de
fica
Se
Cada
é um semicírculo de raio unitário contido no plano vertical que faz ângulo
com o eixo
. Vai do polo Norte
(quando
) até um ponto na borda equatorial (quando
).
Passo 4
Traços das fronteiras do domínio
-
: ponto único – o polo Norte. -
: círculo equatorial . -
e : meridiano famoso no plano , mas como coincidem, dão o mesmo semicírculo de frente.
Passo 5
Esboço e indicação das curvas coordenadas
No esboço, desenhe uma semiesfera (meia-bola acima de ).
– Paralelos (linhas horizontais concêntricas): traçados para alguns .
– Meridianos (arcos verticais): traçados para alguns .
Marque no desenho o paralelo genérico como um círculo de raio
em
e o meridiano genérico
como um semicírculo no plano de ângulo
.
No esboço, desenhe uma semiesfera (meia-bola acima de
– Paralelos (linhas horizontais concêntricas): traçados para alguns
– Meridianos (arcos verticais): traçados para alguns
Marque no desenho o paralelo genérico
Resposta
As curvas de coordenadas são:
(a) Para fixo, o paralelo
(a) Para
um círculo horizontal de raio
em
.
(b) Para fixo, o meridiano
(b) Para
um semicírculo no plano que faz ângulo
com o eixo
.