Identifique e esboce o traço de cada superfície parametrizada, indicando as respectivas curvas coordenadas.
f(u, v)=(cos u sen v, sen u sen v, cos v), 0 <= u <= 2 pi, 0 <= v <= pi2.

Passo 1

O enunciado dá a parametrização
f(u,v) = (cos usin v,;sin usin v,;cos v),, 0<= u<=2pi,;0<= v<=tfracpi2
Isso é exatamente a meia-esfera unitária acima do plano z=0 em coordenadas esféricas (onde u é o ângulo azimutal e v é o ângulo polar). Para traçar as curvas de coordenadas, vamos fixar sucessivamente u=constante (meridianos) e v=constante (paralelos).

Passo 2

Curvas v=v0 fixo (paralelos)
Se v=v0 é constante, a parametrização em função de u fica
gammav0(u)=f(u,v0) = (cos usin v0,;sin usin v0,;cos v0),, 0<= u<=2pi
Geometricamente, é um círculo horizontal de raio sin v0 no plano z=cos v0. Para cada v0in(0,tfracpi2) temos um paralelo; em particular, em v0=tfracpi2 temos o círculo equatorial
gammapi/2(u) = (cos u,;sin u,;0)

Passo 3

Curvas u=u0 fixo (meridianos)
Se u=u0 é constante, a parametrização em função de v fica
de<au0(v)=f(u0,v) = (cos u0sin v,;sin u0sin v,;cos v),, 0<= v<=tfracpi2
Cada de<au0 é um semicírculo de raio unitário contido no plano vertical que faz ângulo u0 com o eixo x. Vai do polo Norte (0,0,1) (quando v=0) até um ponto na borda equatorial (quando v=tfracpi2).

Passo 4

Traços das fronteiras do domínio
  1. v=0: ponto único (0,0,1) – o polo Norte.
  2. v=tfracpi2: círculo equatorial (cos u,sin u,0).
  3. u=0 e u=2pi: meridiano famoso no plano y=0, mas como coincidem, dão o mesmo semicírculo de frente.

Passo 5

Esboço e indicação das curvas coordenadas
No esboço, desenhe uma semiesfera (meia-bola acima de z=0).
– Paralelos (linhas horizontais concêntricas): traçados para alguns v0.
– Meridianos (arcos verticais): traçados para alguns u0.
Marque no desenho o paralelo genérico gammav0 como um círculo de raio sin v0 em z=cos v0 e o meridiano genérico de<au0 como um semicírculo no plano de ângulo u0.

Resposta

As curvas de coordenadas são:
(a) Para v=v0 fixo, o paralelo
gammav0(u) = (cos usin v0,;sin usin v0,;cos v0), 0<= u<=2pi,
um círculo horizontal de raio sin v0 em z=cos v0.
(b) Para u=u0 fixo, o meridiano
de<au0(v) = (cos u0sin v,;sin u0sin v,;cos v), 0<= v<=tfracpi2,
um semicírculo no plano que faz ângulo u0 com o eixo x.

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