Exercício 8. (Apostol, capítulo 5.15, exercício 1 a 7) Para cada uma das fomas quadráticas abaixo, ache uma matriz autoadjunta associada, os autovalores da matriz, uma base ortonormal de autovetores e uma matriz unitária que a diagonaliza.
Passo 1
O enunciado dá a forma quadrática
e pede: (i) a matriz autoadjunta tal que , (ii) os autovalores de , (iii) uma base ortonormal de autovetores e (iv) uma matriz unitária que diagonaliza . Vamos usar a teoria de matrizes simétricas: escrevemos como , resolvemos para achar , obtemos vetores próprios e os ortonormalizamos.
Passo 2
Como o termo misto é , a matriz simétrica correspondente é
pois em x^TAx o coeficiente de x1x2 vale a12+a21=-24.