Exercício 8. (Apostol, capítulo 5.15, exercício 1 a 7) Para cada uma das fomas quadráticas abaixo, ache uma matriz autoadjunta associada, os autovalores da matriz, uma base ortonormal de autovetores e uma matriz unitária que a diagonaliza.
34 x1^2-24 x1 x2+41 x2^2

Passo 1

O enunciado dá a forma quadrática
Q(x1,x2)=34x1^2-24x1x2+41x2^2
e pede: (i) a matriz autoadjunta A tal que Q(x)=x^TAx, (ii) os autovalores de A, (iii) uma base ortonormal de autovetores e (iv) uma matriz unitária U que diagonaliza A. Vamos usar a teoria de matrizes simétricas: escrevemos Q como x^TAx, resolvemos det(A-lambda I)=0 para achar lambda, obtemos vetores próprios e os ortonormalizamos.

Passo 2

Como o termo misto é -24x1x2, a matriz simétrica correspondente é
A= 34 & -12 -12 & 41 ,
pois em x^TAx o coeficiente de x1x2 vale a12+a21=-24.

Passo 3

Calculamos o polinômio característico
det(A-lambda I) =det 34-lambda & -12 -12 & 41-lambda =(34-lambda)(41-lambda)-144
=lambda^2-75lambda+1250=0
As raízes são
lambda=75pmraiz75^2-4cdot12502 =75pm252,
isto é,
lambda1=50, lambda2=25

Passo 4

Para , resolvemos
que dá , escolhemos .
Para ,
que dá , escolhemos .

Passo 5

Ortonormalizando:
|v1|=raiz9+16=5, u1=15(-3,4)=l(-tfrac35,tfrac45r),
|v2|=raiz16+9=5, u2=15(4,3)=l(tfrac45,tfrac35r)
A matriz unitária (ortogonal real) que tem esses vetores como colunas é
U= -tfrac35 & tfrac45[6pt] tfrac45 & tfrac35
]

Passo 6

Por construção U^TAU=diag(50,25), isto é, U diagonaliza A.

Resposta

A matriz autoadjunta associada é
A= 34 & -12 -12 & 41
Os autovalores são lambda1=50 e lambda2=25.
Uma base ortonormal de autovetores é
u1=l(-tfrac35,tfrac45r), u2=l(tfrac45,tfrac35r)
E a matriz unitária que diagonaliza A é
U= -tfrac35 & tfrac45[6pt] tfrac45 & tfrac35 ,
com U^TAU=diag(50,25).
]

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