Identifique e esboce o traço de cada superfície parametrizada, indicando as respectivas curvas coordenadas.
.
Passo 1
O enunciado dá a superfície parametrizada por
e pede para identificar e esboçar os traços—isto é, as curvas obtidas ao fixar cada parâmetro—indicando também quais são as curvas coordenadas.
Passo 2
Traço para
constante.
Se , então
Se
Aqui
é constante e
portanto é um círculo de raio
no plano horizontal
. Essa é a curva coordenada
.
Passo 3
Traço para
constante.
Se , então
Se
Esse ponto varia numa reta do plano que faz ângulo
com o eixo
, mas com
. Na coordenada radial
esse é o gráfico da parábola
no plano vertical definido por
. Essa é a curva coordenada
.
Passo 4
Equação cartesiana da superfície.
Dos dois primeiros componentes vem
Dos dois primeiros componentes vem
e como
segue
isto é, um paraboloide de revolução de eixo
.
Passo 5
Esboço qualitativo.
- Em cortes horizontais (
constante): famílias de círculos de raios cada vez maiores em planos . - Em cortes radiais (
constante): parábolas no plano vertical que parte da origem e abre para cima segundo .
Resposta
Traços e curvas coordenadas da superfície
:
Para cada
fixo,
é um círculo de raio
no plano
.
Para cada
fixo,
é uma parábola
no plano que forma ângulo
com o eixo
.