Identifique e esboce o traço de cada superfície parametrizada, indicando as respectivas curvas coordenadas.
g(u, v)=(v cos u, v sen u, v^2), 0<u<2 pi e v>0.

Passo 1

O enunciado dá a superfície parametrizada por
g(u,v) = l(vcos u,;vsin u,;v^2r), 0<u<2pi,;v>0,
e pede para identificar e esboçar os traços—isto é, as curvas obtidas ao fixar cada parâmetro—indicando também quais são as curvas coordenadas.

Passo 2

Traço para v=v0 constante.
Se v=v0>0, então
g(u,v0) = l(v0cos u,;v0sin u,;v0^2r), 0<u<2pi
Aqui z=v0^2 é constante e
x^2+y^2 = v0^2,
portanto é um círculo de raio v0 no plano horizontal z=v0^2. Essa é a curva coordenada l(umapsto g(u,v0)r).

Passo 3

Traço para u=u0 constante.
Se u=u0, então
g(u0,v) = l(vcos u0,;vsin u0,;v^2r), v>0
Esse ponto varia numa reta do plano que faz ângulo u0 com o eixo x, mas com z=v^2. Na coordenada radial r=v esse é o gráfico da parábola
z = r^2
no plano vertical definido por y/x=tan u0. Essa é a curva coordenada l(vmapsto g(u0,v)r).

Passo 4

Equação cartesiana da superfície.
Dos dois primeiros componentes vem
v^2 = x^2+y^2,
e como z=v^2 segue
z = x^2+y^2,
isto é, um paraboloide de revolução de eixo z.

Passo 5

Esboço qualitativo.
  • Em cortes horizontais ( v= constante): famílias de círculos de raios cada vez maiores em planos z=v^2.
  • Em cortes radiais ( u= constante): parábolas no plano vertical que parte da origem e abre para cima segundo z=(distância ao eixo)^2â.

Resposta

Traços e curvas coordenadas da superfície g(u,v):
Para cada v=v0 fixo,
g(u,v0)=l(v0cos u,;v0sin u,;v0^2r)
é um círculo de raio v0 no plano z=v0^2.
Para cada u=u0 fixo,
g(u0,v)=l(vcos u0,;vsin u0,;v^2r)
é uma parábola z=r^2 no plano que forma ângulo u0 com o eixo x.

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