Exercício 8. (Apostol, capítulo 5.15, exercício 1 a 7) Para cada uma das fomas quadráticas abaixo, ache uma matriz autoadjunta associada, os autovalores da matriz, uma base ortonormal de autovetores e uma matriz unitária que a diagonaliza.
x1^2+x1 x2+x1 x3+x2 x3

Passo 1

O enunciado pede, para a forma quadrática
Q(x1,x2,x3)=x1^2+x1x2+x1x3+x2x3,
que a gente ache
1) a matriz autoadjunta A associada,
2) os autovalores de A,
3) uma base ortonormal de autovetores e
4) uma matriz unitária U que diagonaliza A.
O método é usar Q(x)=x^TAx, calcular o polinômio característico, resolver (A-lambda I)x=0, normalizar os autovetores e montar U.

Passo 2

Escrevendo Q(x)=x^TAx, os coeficientes dão
a11=1, a22=0, a33=0,
e, como cada termo misto xixj aparece como 2aijxixj, temos
a12=a21=tfrac12, a13=a31=tfrac12, a23=a32=tfrac12
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A= 1 & tfrac12 & tfrac12[6pt] tfrac12 & 0 & tfrac12[6pt] tfrac12 & tfrac12 & 0 ]

Passo 3

Calculamos o polinômio característico
det(A-lambda I) =det 1-lambda & tfrac12 & tfrac12[3pt] tfrac12 & -lambda & tfrac12[3pt] tfrac12 & tfrac12 & -lambda =-lambda^3+lambda^2+tfrac34,lambda
o que se reescreve como
lambdal(lambda^2-lambda-tfrac34r)=0 ;Longrightarrow; lambda1=0,;lambda2=tfrac32,;lambda3=-tfrac12 ]

Passo 4

Para
que dá . Um autovetor é .

Passo 5

Para
que implica . Um autovetor é .

Passo 6

Para
que dá .

Passo 7

Normalizando os autovetores:
u2=1raiz6(2,1,1), u3=1raiz2(0,1,-1), u1=1raiz3(1,-1,-1)
Nesses vetores |ui|=1 e uicdot uj=0 para ineq j, formando base ortonormal.

Passo 8

Definimos a matriz unitária (ortogonal real) cujas colunas são os ui:
U= tfrac2raiz6 & 0 & tfrac1raiz3[6pt] tfrac1raiz6 & tfrac1raiz2 & -tfrac1raiz3[6pt] tfrac1raiz6 & -tfrac1raiz2 & -tfrac1raiz3
Então
U^TAU=diagl(tfrac32,,-tfrac12,,0r) ]

Resposta

A matriz autoadjunta é
A= 1 & tfrac12 & tfrac12[3pt] tfrac12 & 0 & tfrac12[3pt] tfrac12 & tfrac12 & 0
Os autovalores são
lambda1=0, lambda2=tfrac32, lambda3=-tfrac12
Uma base ortonormal de autovetores é
u1=1raiz3(1,-1,-1), u2=1raiz6(2,1,1), u3=1raiz2(0,1,-1)
E a matriz unitária que diagonaliza A é
U= tfrac2raiz6 & 0 & tfrac1raiz3[6pt] tfrac1raiz6 & tfrac1raiz2 & -tfrac1raiz3[6pt] tfrac1raiz6 & -tfrac1raiz2 & -tfrac1raiz3 , U^TAU=diagl(tfrac32,,-tfrac12,,0r) ]

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