Identifique e esboce o traço de cada superfície parametrizada, indicando as respectivas curvas coordenadas.
g(u, v)=(2 cos v cos u, 2 cos v sen u, sen v), 0<u<2 pi e v in R.

Passo 1

O enunciado dá a parametrização
g(u,v)=l(2cos vcos u,;2cos vsin u,;sin vr), 0<u<2pi,;vinR,
que define uma superfície no espaço. O objetivo é identificar as curvas coordenadas (traços) obtidas fixando u ou v, e esboçar cada família de curvas sobre a superfície.

Passo 2

Curvas para u=u0 (meridianos):
Se u=u0 é constante, então
x=2cos vcos u0, y=2cos vsin u0, z=sin v,
com parâmetro v. Note que estas curvas vivem num plano vertical que forma ângulo u0 com o eixo x. Para ver que são elipses, definimos a coordenada no plano
x'=xcos u0+ysin u0=2cos v,
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x'^22^2+z^2=cos^2v+sin^2v=1
Portanto cada curva u=u0 é a elipse
(xcos u0+ysin u0)^24+z^2=1
no plano ,ycos u0 - xsin u0=0.

Passo 3

Curvas para v=v0 (paralelos):
Se v=v0 é constante, então
x=2cos v0cos u, y=2cos v0sin u, z=sin v0,
com parâmetro u. Essas são claramente circunferências de raio l|2cos v0r| contidas no plano horizontal
z=sin v0,
pois
x^2+y^2=4cos^2v0

Passo 4

Esboço e interpretação global:
Eliminando u,v chega-se à superfície implícita
x^2+y^24+z^2=1,
isto é, um elipsóide centrado na origem de semi-eixos 2,2,1.
– As curvas v=v0 são os “paralelos” horizontais (círculos).
– As curvas u=u0 são os “meridianos” (elipses em planos verticais).

Resposta

As curvas coordenadas são:
u=u0: elipses meridianas no plano que forma ângulo u0 com o eixo x, dadas por
(xcos u0+ysin u0)^24+z^2=1
v=v0: circunferências horizontais (paralelos) de raio 2|cos v0| no plano z=sin v0.
O esboço é o elipsóide tfracx^2+y^24+z^2=1 com esses meridianos e paralelos desenhados.

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