Identifique e esboce o traço de cada superfície parametrizada, indicando as respectivas curvas coordenadas. .
Passo 1
O enunciado dá a parametrização
que define uma superfície no espaço. O objetivo é identificar as curvas coordenadas (traços) obtidas fixando ou , e esboçar cada família de curvas sobre a superfície.
Passo 2
Curvas para (meridianos):
Se é constante, então
com parâmetro . Note que estas curvas vivem num plano vertical que forma ângulo com o eixo . Para ver que são elipses, definimos a coordenada no plano
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Portanto cada curva é a elipse
no plano .
Passo 3
Curvas para (paralelos):
Se é constante, então
com parâmetro . Essas são claramente circunferências de raio contidas no plano horizontal
z=sin v0,
pois
x^2+y^2=4cos^2v0
Passo 4
Esboço e interpretação global:
Eliminando u,v chega-se à superfície implícita
x^2+y^24+z^2=1,
isto é, um elipsóide centrado na origem de semi-eixos 2,2,1.
– As curvas v=v0 são os “paralelos” horizontais (círculos).
– As curvas u=u0 são os “meridianos” (elipses em planos verticais).
Resposta
As curvas coordenadas são: u=u0: elipses meridianas no plano que forma ângulo u0 com o eixo x, dadas por
(xcos u0+ysin u0)^24+z^2=1
v=v0: circunferências horizontais (paralelos) de raio 2|cos v0| no plano z=sin v0.
O esboço é o elipsóide tfracx^2+y^24+z^2=1 com esses meridianos e paralelos desenhados.