Exercício 8. (Apostol, capítulo 5.15, exercício 1 a 7) Para cada uma das fomas quadráticas abaixo, ache uma matriz autoadjunta associada, os autovalores da matriz, uma base ortonormal de autovetores e uma matriz unitária que a diagonaliza.
Passo 1
O enunciado dá a forma quadrática
e pede (i) a matriz autoadjunta que a representa, (ii) os autovalores de , (iii) uma base ortonormal de autovetores e (iv) uma matriz unitária que diagonalize . O conteúdo aqui é a diagonalização espectral de matrizes reais simétricas.
Passo 2
Para encontrar escrevemos
e lemos os coeficientes: como o termo misto é , temos . Assim
Para lambda=1 resolvemos (A-I)x=0. As equações implicam x1=0, x3=0 e x2 livre. Um autovetor é
v2=(0,1,0),
que já tem norma 1.
Passo 5
Para lambda=3 resolvemos (A-3I)x=0. As equações dão x2=0 e x1=2x3. Tomando x3=1 surge
v3=(2,0,1),
cuja norma é raiz5. O vetor unitário é
u3=1raiz5(2,0,1)
Passo 6
Para lambda=-2 resolvemos (A+2I)x=0. As equações dão x2=0 e x3=-2x1. Tomando x1=1 obtemos
v1=(1,0,-2),
com norma raiz5. O vetor unitário é
u1=1raiz5(1,0,-2)
Passo 7
Os vetores unitários u1,u2,u3 formam uma base ortonormal de R^3 e diagonalizam A. Definimos a matriz unitária (ortogonal) U cujas colunas são esses vetores, na ordem dos autovalores