Exercício 8. (Apostol, capítulo 5.15, exercício 1 a 7) Para cada uma das fomas quadráticas abaixo, ache uma matriz autoadjunta associada, os autovalores da matriz, uma base ortonormal de autovetores e uma matriz unitária que a diagonaliza.
2 x1^2+4 x1 x3+x2^2-x3^2

Passo 1

O enunciado dá a forma quadrática
Q(x1,x2,x3) = 2x1^2 + 4x1x3 + x2^2 - x3^2
e pede (i) a matriz autoadjunta A que a representa, (ii) os autovalores de A, (iii) uma base ortonormal de autovetores e (iv) uma matriz unitária que diagonalize A. O conteúdo aqui é a diagonalização espectral de matrizes reais simétricas.

Passo 2

Para encontrar A escrevemos
Q(x) = x^TAx
e lemos os coeficientes: como o termo misto é 4x1x3, temos A13+A31=4. Assim
A = 2 & 0 & 2 0 & 1 & 0 2 & 0 & -1 ,
que é simétrica, logo autoadjunta.

Passo 3

O polinômio característico vem de
det(A - lambda I) = det 2-lambda & 0 & 2 0 & 1-lambda & 0 2 & 0 & -1-lambda =(1-lambda)l((2-lambda)(-1-lambda)-4r)
Como (2-lambda)(-1-lambda)-4=lambda^2-lambda-6, obtemos
det(A-lambda I)=(1-lambda)(lambda^2-lambda-6) =(1-lambda)(lambda-3)(lambda+2)
Logo os autovalores são
lambda1=-2, lambda2=1, lambda3=3

Passo 4

Para lambda=1 resolvemos (A-I)x=0. As equações implicam x1=0, x3=0 e x2 livre. Um autovetor é
v2=(0,1,0),
que já tem norma 1.

Passo 5

Para lambda=3 resolvemos (A-3I)x=0. As equações dão x2=0 e x1=2x3. Tomando x3=1 surge
v3=(2,0,1),
cuja norma é raiz5. O vetor unitário é
u3=1raiz5(2,0,1)

Passo 6

Para lambda=-2 resolvemos (A+2I)x=0. As equações dão x2=0 e x3=-2x1. Tomando x1=1 obtemos
v1=(1,0,-2),
com norma raiz5. O vetor unitário é
u1=1raiz5(1,0,-2)

Passo 7

Os vetores unitários u1,u2,u3 formam uma base ortonormal de R^3 e diagonalizam A. Definimos a matriz unitária (ortogonal) U cujas colunas são esses vetores, na ordem dos autovalores
U = 1raiz5 & 0 & 2raiz5 0 & 1 & 0 -2raiz5 & 0 & 1raiz5
Então
U^T A,U = diag(-2,,1,,3)

Resposta

A matriz autoadjunta é
A = 2 & 0 & 2 0 & 1 & 0 2 & 0 & -1 ,
seus autovalores são lambda=-2,1,3, uma base ortonormal de autovetores é
u1=1raiz5(1,0,-2), u2=(0,1,0), u3=1raiz5(2,0,1),
e a matriz unitária que diagonaliza A é
U = 1raiz5 & 0 & 2raiz5 0 & 1 & 0 -2raiz5 & 0 & 1raiz5 ,
com
U^T A,U = -2&0&00&1&00&0&3

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