Exercício 8. (Apostol, capítulo 5.15, exercício 1 a 7) Para cada uma das fomas quadráticas abaixo, ache uma matriz autoadjunta associada, os autovalores da matriz, uma base ortonormal de autovetores e uma matriz unitária que a diagonaliza.
3 x1^2+4 x1 x2+8 x1 x3+4 x2 x3+3 x3^2

Passo 1

Estamos com a forma quadrática
Q(x1,x2,x3)=3x1^2+4x1x2+8x1x3+4x2x3+3x3^2
O objetivo é usar o Teorema Espectral para achar
1) a matriz simétrica A tal que Q(x)=x^TAx,
2) os autovalores de A,
3) uma base ortonormal de autovetores e
4) a matriz unitária U que diagonaliza A.

Passo 2

Para escrever Q(x)=x^TAx com A simétrica, igualamos
Q(x)=sumi=1^3aiixi^2+2sum1<= i<j<=3aijxixj
Comparando coeficientes:
  • 3x1^2 a11=3.
  • não há x2^2, logo a22=0.
  • 3x3^2 a33=3.
  • termo 4x1x2=2a12x1x2 a12=2.
  • termo 8x1x3=2a13x1x3 a13=4.
  • termo 4x2x3=2a23x2x3 a23=2.
    Assim
A= 3 & 2 & 4 2 & 0 & 2 4 & 2 & 3

Passo 3

Calculamos o polinômio característico
det(A-lambda I) =lambda^3-6lambda^2-15lambda-8 =(lambda-8)(lambda+1)^2
Portanto os autovalores são
lambda1=8, lambda2=-1, lambda3=-1

Passo 4

Para resolvemos , ou seja
Dessa desce e . Um autovetor conveniente é
. Normalizando,

Passo 5

Para lambda=-1 resolvemos (A+I)x=0, que reduz a
2x+y+2z=0
Uma base “crua” do espaço próprio é
,u1=(1,-2,0) e u2=(0,-2,1).
Aplicando Gram–Schmidt:
1) normalizamos u1:
v1 =1|u1|u1 =1raiz5(1,-2,0)
2) projetamos u2 em v1 e subtraímos:
u2'=u2-(u2cdotv1),v1 =(0,-2,1)-45(1,-2,0) =l(-tfrac45,-tfrac25,1r)
3) normalizamos u2':
v2 =1|u2'|,u2' =13raiz5(-4,-2,5)
Então v1,v2 é uma base ortonormal para lambda=-1.

Passo 6

Reunindo, a matriz ortogonal (unitária real) que diagonaliza A é
U=l[e1;|;v1;|;v2r] = 23 & 1raiz5 & -43raiz5[6pt] 13 & -2raiz5 & -23raiz5[6pt] 23 & 0 & 53raiz5
E a diagonalização é
U^TAU =diag(8,,-1,,-1) ]

Resposta

A matriz associada é
A= 3 & 2 & 4 2 & 0 & 2 4 & 2 & 3 ,
os autovalores são 8,-1,-1,
uma base ortonormal de autovetores é
e1=13(2,1,2), v1=1raiz5(1,-2,0), v2=13raiz5(-4,-2,5),
e a matriz unitária que diagonaliza é
U= 23 & 1raiz5 & -43raiz5[4pt] 13 & -2raiz5 & -23raiz5[4pt] 23 & 0 & 53raiz5 , U^TAU=diag(8,-1,-1) ]

Exercícios relacionados