Exercício 8. (Apostol, capítulo 9.8, exercício 9) A equação x+z+(y+z)^2=6 define z como função de x e y. Determine partial fpartial x, partial fpartial y e partial^2 fpartial x partial y como função de x, y e z.

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
x + z + (y+z)^2 = 6
que define z = f(x,y). Para encontrar partial f/partial x e partial f/partial y, usamos diferenciação implícita mantendo y constante ao derivar em relação a x e mantendo x constante ao derivar em relação a y. Depois, para partial^2f/partial xpartial y, derivamos partial f/partial x em relação a y.

Passo 2

Derivando
x + z + (y+z)^2 = 6
em relação a x, temos
partialpartial x(x) + partial zpartial x + 2(y+z),partialpartial x(y+z) = 0
Como partial(y+z)/partial x = 0 + zx, isso dá
1 + zx + 2(y+z),zx = 0 Longrightarrow zxl(1+2(y+z)r) = -1
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partial fpartial x = zx = -11 + 2,(y+z)

Passo 3

Derivando a mesma equação em relação a y, obtemos
0 + zy + 2(y+z),partialpartial y(y+z) = 0
com partial(y+z)/partial y = 1 + zy, ou seja
zy + 2(y+z),(1+zy) = 0 Longrightarrow zyl(1+2(y+z)r) = -2(y+z)
portanto
partial fpartial y = zy = -2,(y+z)1 + 2,(y+z)

Passo 4

Para partial^2f/partial xpartial y, note que
partial fpartial x = -1A, A = 1 + 2(y+z)
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partial^2fpartial xpartial y = partialpartial yl(-A^-1r) = A^-2,partial Apartial y
E
partial Apartial y = 2l(1 + zyr) =2l(1 - 2(y+z)Ar) = 2A
Assim
partial^2fpartial xpartial y = A^-2,2A = 2l(1 + 2(y+z)r)^3

Resposta

partial fpartial x = -11 + 2(y+z), partial fpartial y = -2,(y+z)1 + 2(y+z), partial^2fpartial xpartial y = 2l(1 + 2(y+z)r)^3

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