Exercício 6. (Apostol, capítulo 9.8, exercício 3) As equações F(x, y, u, v)=0 e G(x, y, u, v) determinam x e y como função de u e v: x=X(u, v) e y=Y(u, v). Mostre que
partial Xpartial u=partial(F, G)partial(y, u)partial(F, G)partial(x, y)
Ache expressões análogas para partial Xpartial v, partial Ypartial u e partial Ypartial v.

Passo 1

O enunciado apresenta duas equações
,F(x,y,u,v)=0
e
,G(x,y,u,v)=0
que definem implicitamente as funções
,x=X(u,v)
e
,y=Y(u,v).
Queremos calcular as derivadas parciais
,partial X/partial u,
,partial X/partial v,
,partial Y/partial u
e
,partial Y/partial v
em termos de determinantes jacobianos.
Pressupomos que
partial(F,G)partial(x,y)neq 0

Passo 2

Diferenciando implicitamente em relação a ,u e mantendo ,v constante, obtemos as equações
Fx,partial Xpartial u;+;Fy,partial Ypartial u;+;Fu;=;0
Gx,partial Xpartial u;+;Gy,partial Ypartial u;+;Gu;=;0

Passo 3

Esse sistema pode ser escrito em forma matricial como
Fx & Fy[3pt] Gx & Gy partial Xpartial u[3pt] partial Ypartial u = -,Fu[3pt] -,Gu ]

Passo 4

Pelo método de Cramer, a solução para ,partial X/partial u é
partial Xpartial u = det!l(-Fu & Fy[3pt]-Gu & Gyr) det!l(Fx & Fy[3pt]Gx & Gyr) = Fy,Gu;-;Fu,GyFx,Gy;-;Fy,Gx ]

Passo 5

Reconhecendo os jacobianos
partial(F,G)partial(y,u) =det!l(Fy & Fu[3pt]Gy & Gur) =Fy,Gu;-;Fu,Gy
partial(F,G)partial(x,y) =det!l(Fx & Fy[3pt]Gx & Gyr) =Fx,Gy;-;Fy,Gx
concluímos
partial Xpartial u =partial(F,G)partial(y,u) partial(F,G)partial(x,y) ]

Passo 6

De modo análogo, diferenciando em relação a ,v e aplicando Cramer, obtém‐se
partial Xpartial v =partial(F,G)partial(y,v) partial(F,G)partial(x,y)

Passo 7

Para ,partial Y/partial u substituímos a segunda coluna pelo vetor ,(-Fu,,-Gu) no cálculo de Cramer. Isso dá
partial Ypartial u = det!l(Fx & -Fu[3pt]Gx & -Gur) det!l(Fx & Fy[3pt]Gx & Gyr) =Fu,Gx;-;Fx,GuFx,Gy;-;Fy,Gx =partial(F,G)partial(u,x) partial(F,G)partial(x,y) ]

Passo 8

De forma semelhante, para ,partial Y/partial v substituímos a segunda coluna por ,(-Fv,,-Gv) e obtemos
partial Ypartial v = partial(F,G)partial(v,x) partial(F,G)partial(x,y)

Resposta

partial Xpartial u = partial(F,G)partial(y,u)partial(F,G)partial(x,y), partial Xpartial v = partial(F,G)partial(y,v)partial(F,G)partial(x,y),
partial Ypartial u = partial(F,G)partial(u,x)partial(F,G)partial(x,y), partial Ypartial v = partial(F,G)partial(v,x)partial(F,G)partial(x,y)

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