Exercício 6. (Apostol, capítulo 9.8, exercício 3) As equações
e
determinam
e
como função de
e
e
. Mostre que
Ache expressões análogas para
e
.
Passo 1
O enunciado apresenta duas equações
e
que definem implicitamente as funções
e
.
Queremos calcular as derivadas parciais
,
,
e
em termos de determinantes jacobianos.
Pressupomos que
e
que definem implicitamente as funções
e
Queremos calcular as derivadas parciais
e
em termos de determinantes jacobianos.
Pressupomos que
Passo 2
Diferenciando implicitamente em relação a
e mantendo
constante, obtemos as equações
Passo 3
Esse sistema pode ser escrito em forma matricial como
Passo 4
Pelo método de Cramer, a solução para
é
Passo 5
Reconhecendo os jacobianos
concluímos
Passo 6
De modo análogo, diferenciando em relação a
e aplicando Cramer, obtém‐se
Passo 7
Para
substituímos a segunda coluna pelo vetor
no cálculo de Cramer. Isso dá
Passo 8
De forma semelhante, para
substituímos a segunda coluna por
e obtemos