Exercício 9. (Apostol, capítulo 9.8, exercício 12) Seja
. Mostre que
Passo 1
O enunciado define
e pede para mostrar que
O conteúdo envolvido é a regra da cadeia para derivadas parciais de funções compostas, e precisaremos calcular as derivadas primeiras e segundas de
.
Passo 2
Defina a função auxiliar
Pela regra da cadeia, a derivada parcial de
em relação a
é
e em relação a
é
Passo 3
Agora calcule as derivadas segundas necessárias. Primeiro
Em seguida, a derivada mista
Passo 4
Multiplique os termos conforme o enunciado:
Como as duas expressões coincidem, a igualdade desejada está demonstrada.
Resposta
A igualdade vale porque ambas as parcelas são iguais a