Exercício 9. (Apostol, capítulo 9.8, exercício 12) Seja F(x, y)=f(x+g(y)). Mostre que
partial Fpartial x partial^2 Fpartial x partial y=partial Fpartial y partial^2 Fpartial x^2

Passo 1

O enunciado define F(x,y)=fl(x+g(y)r) e pede para mostrar que
partial Fpartial x,partial^2 Fpartial x partial y =partial Fpartial y,partial^2 Fpartial x^2
O conteúdo envolvido é a regra da cadeia para derivadas parciais de funções compostas, e precisaremos calcular as derivadas primeiras e segundas de F.

Passo 2

Defina a função auxiliar
u(x,y)=x+g(y)
Pela regra da cadeia, a derivada parcial de F em relação a x é
partial Fpartial x =f'l(u(x,y)r),partial upartial x =f'l(u(x,y)r)cdot 1 =f'l(u(x,y)r),
e em relação a y é
partial Fpartial y =f'l(u(x,y)r),partial upartial y =f'l(u(x,y)r),g'(y)

Passo 3

Agora calcule as derivadas segundas necessárias. Primeiro
partial^2 Fpartial x^2 =partialpartial xl[f'l(u(x,y)r)r] =f''l(u(x,y)r),partial upartial x =f''l(u(x,y)r)
Em seguida, a derivada mista
partial^2 Fpartial xpartial y =partialpartial yl[f'l(u(x,y)r)r] =f''l(u(x,y)r),partial upartial y =f''l(u(x,y)r),g'(y)

Passo 4

Multiplique os termos conforme o enunciado:
partial Fpartial x,partial^2 Fpartial xpartial y =f'l(ur),l[f''l(ur),g'(y)r] =f'l(ur),f''l(ur),g'(y),
partial Fpartial y,partial^2 Fpartial x^2 =l[f'l(ur),g'(y)r],f''l(ur) =f'l(ur),f''l(ur),g'(y)
Como as duas expressões coincidem, a igualdade desejada está demonstrada.

Resposta

A igualdade vale porque ambas as parcelas são iguais a
f'l(x+g(y)r);f''l(x+g(y)r);g'(y)

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