Considere a região R delimitada pelas curvas y=(x-1)^2, x=1, x=2 e y=1. Seja S o sólido obtido pela rotação de R em torno do eixo y.
(a) Esboce a região R e determine sua área.
(b) Expresse o volume de S por uma integral utilizando o método das cascas cilíndricas. Não precisa calcular a integral.
(c) Expresse o volume de S por uma integral utilizando o método das fatias. Não precisa calcular a integral.

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre a região R limitada por
y=(x-1)^2, ,x=1, ,x=2 e ,y=1, e sobre o sólido S obtido ao girar R em torno do eixo y:
(a) esboçar R e calcular sua área;
(b) escrever, sem calcular, a integral do volume por cascas cilíndricas;
(c) escrever, sem calcular, a integral do volume por fatias (discos/aros).

Passo 2

Para esboçar R note que a parábola y=(x-1)^2 tem vértice em (1,0) e abre para cima. Entre x=1 e x=2 ela cresce de y=0 até y=1, que é a reta superior. A área de R é
integral1^2l[,1 - (x-1)^2r],dx =l[x - tfrac(x-1)^33r]1^2 =l(2-tfrac13r)-l(1-0r) =1-tfrac13 =tfrac23

Passo 3

Pelo método das cascas cilíndricas usamos uma casca a xin[1,2] com raio r=x, altura h(x)=1-(x-1)^2 e espessura dx. O volume é
V =integral1^22pi,xl[,1-(x-1)^2r],dx

Passo 4

Pelo método das fatias horizontais tomamos yin[0,1]. A fatia de altura dy gera um anel com raio externo Re=1+raizy e raio interno Ri=1. Logo
V =integral0^1pil[(1+raizy)^2 - 1^2r],dy

Resposta

(a) A região é a faixa entre o ramo de y=(x-1)^2 de x=1 a x=2 e a reta y=1, e sua área vale tfrac23.
(b)
V=integral1^22pi,xl[1-(x-1)^2r] , dx
(c)
V=integral0^1pil[(1+raizy)^2-1^2r] , dy

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