Considere a região
delimitada pelas curvas
e
. Seja
o sólido obtido pela rotação de
em torno do eixo
.
(a) Esboce a região
e determine sua área.
(b) Expresse o volume de
por uma integral utilizando o método das cascas cilíndricas. Não precisa calcular a integral.
(c) Expresse o volume de
por uma integral utilizando o método das fatias. Não precisa calcular a integral.
(a) Esboce a região
(b) Expresse o volume de
(c) Expresse o volume de
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre a região
limitada por
,
,
e
, e sobre o sólido
obtido ao girar
em torno do eixo
:
(a) esboçar e calcular sua área;
(b) escrever, sem calcular, a integral do volume por cascas cilíndricas;
(c) escrever, sem calcular, a integral do volume por fatias (discos/aros).
(a) esboçar
(b) escrever, sem calcular, a integral do volume por cascas cilíndricas;
(c) escrever, sem calcular, a integral do volume por fatias (discos/aros).
Passo 2
Para esboçar
note que a parábola
tem vértice em
e abre para cima. Entre
e
ela cresce de
até
, que é a reta superior. A área de
é
Passo 3
Pelo método das cascas cilíndricas usamos uma casca a
com raio
, altura
e espessura
. O volume é
Passo 4
Pelo método das fatias horizontais tomamos
. A fatia de altura
gera um anel com raio externo
e raio interno
. Logo
Resposta
(a) A região é a faixa entre o ramo de
de
a
e a reta
, e sua área vale
.
(b)
(c)