Usando a definição de integral definida, mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
usando a definição de Riemann. O conteúdo aqui é a construção da integral como limite de somas de Riemann, e vamos precisar conhecer as fórmulas
e o fato de que, ao refinarmos a partição,
e
.
Passo 2
Particionamos o intervalo
em
subintervalos iguais de comprimento
Tomamos como ponto de amostragem o extremo direito de cada subintervalo, ou seja,
Pela definição de integral, temos
Passo 3
Separamos a soma em duas partes:
Na primeira soma, substituímos
:
Logo,
Passo 4
Agora tomamos o limite
. Note que
, então
Assim, a parte que veio de
sum xi,De<a x no limite é
Para a segunda soma, temos
e esse resultado não depende de
n .
Passo 5
Somando as duas partes,