Usando a definição de integral definida, mostre que integrala^b(x+5) d x= b^2-a^22+5(b-a).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integrala^b(x+5),dx
usando a definição de Riemann. O conteúdo aqui é a construção da integral como limite de somas de Riemann, e vamos precisar conhecer as fórmulas
sumi=1^ni=n(n+1)2
e o fato de que, ao refinarmos a partição, De<a xto0 e nDe<a x=b-a.

Passo 2

Particionamos o intervalo [a,b] em n subintervalos iguais de comprimento
De<a x = b-an
Tomamos como ponto de amostragem o extremo direito de cada subintervalo, ou seja,
xi = a + i,De<a x, i=1,2,dots,n
Pela definição de integral, temos
integrala^b(x+5),dx = limntoinftysumi=1^nl(xi+5r)De<a x

Passo 3

Separamos a soma em duas partes:
sumi=1^nl(xi+5r)De<a x = sumi=1^nxi,De<a x ;+; sumi=1^n5,De<a x
Na primeira soma, substituímos xi=a+i,De<a x:
sumi=1^nxi,De<a x = sumi=1^nl(a+i,De<a xr)De<a x = sumi=1^na,De<a x ;+;sumi=1^ni,De<a x^2
Logo,
sumi=1^na,De<a x = a,(nDe<a x)=a(b-a),
sumi=1^ni,De<a x^2 = De<a x^2cdotn(n+1)2

Passo 4

Agora tomamos o limite ntoinfty. Note que De<a x=(b-a)/n, então
De<a x^2cdotn(n+1)2 = (b-a)^2n^2cdotn(n+1)2 = (b-a)^22,n+1n ;xrightarrow[ntoinfty]; (b-a)^22
Assim, a parte que veio de sum xi,De<a x no limite é
a(b-a)+(b-a)^22 = 2a(b-a)+(b-a)^22 = b^2-a^22
Para a segunda soma, temos
sumi=1^n5,De<a x = 5,n,De<a x = 5(b-a)
e esse resultado não depende de n.

Passo 5

Somando as duas partes,
integrala^b(x+5),dx = b^2-a^22 + 5(b-a)

Resposta

integrala^b(x+5),dx = b^2-a^22 + 5(b-a)

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