Exercício 7. (Apostol, capítulo 8.3, exercício 9)
Seja
uma função contínua no ponto
. Mostre que se
, então existe uma bola
,
, tal que se
, então
tem o mesmo sinal de
.
Seja
Passo 1
O enunciado afirma que
é contínua em
e que
. Precisamos mostrar que existe um raio
tal que, para todo
com
, o valor
tem o mesmo sinal de
. O conteúdo principal usado será a definição de continuidade via condição
–
.
Passo 2
Pela definição de continuidade de
em
, para todo
existe
tal que
Agora escolhemos
Então obtém-se um
com a propriedade
Passo 3
Do fato
segue
isto é,
Se
então
, logo
.
Se então
, logo
.
Em ambos os casos temos .
Se
Em ambos os casos temos
Resposta
Basta tomar
. Então a bola
satisfaz que, para todo
,
tem o mesmo sinal de
.