Exercício 7. (Apostol, capítulo 8.3, exercício 9)
Seja f: R^n R uma função contínua no ponto a in R^n. Mostre que se f(a) neq 0, então existe uma bola Br(a), r>0, tal que se x in Br(a), então f(x) tem o mesmo sinal de f(a).

Passo 1

O enunciado afirma que f:R^ntoR é contínua em ainR^n e que f(a)neq 0. Precisamos mostrar que existe um raio r>0 tal que, para todo x com |x-a|<r, o valor f(x) tem o mesmo sinal de f(a). O conteúdo principal usado será a definição de continuidade via condição varepsilon de<a.

Passo 2

Pela definição de continuidade de f em a, para todo varepsilon>0 existe de<a>0 tal que
|x-a|<de<aLongrightarrow |f(x)-f(a)|<varepsilon
Agora escolhemos
varepsilon = |f(a)|
Então obtém-se um de<a>0 com a propriedade
|x-a|<de<aLongrightarrow |f(x)-f(a)|<|f(a)|

Passo 3

Do fato |f(x)-f(a)|<|f(a)| segue
-;|f(a)|<f(x)-f(a)<|f(a)|,
isto é,
f(a)-|f(a)|<f(x)<f(a)+|f(a)|
Se f(a)>0 então f(a)-|f(a)|=0, logo f(x)>0.
Se f(a)<0 então f(a)+|f(a)|=0, logo f(x)<0.
Em ambos os casos temos signf(x)=signf(a).

Resposta

Basta tomar r=de<a. Então a bola
Br(a)=xinR^nmid|x-a|<r
satisfaz que, para todo xin Br(a), f(x) tem o mesmo sinal de f(a).

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