Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
integral e^2 x d x2+e^2 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral e^2x,dx2+e^2x
usando o método da substituição. Vamos aproveitar que a derivada de 2+e^2x é proporcional a e^2x, facilitando a integração.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 2 + e^2x
Diferenciando ambos os lados, obtemos
du = 2,e^2x,dx Longrightarrow e^2x,dx = du2

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
integral e^2x,dx2+e^2x = integral 1u,l(e^2x,dxr) = integral 1u,du2 = 12,integral duu

Passo 4

A integral em u é imediata, pois
integral duu = lnl|ur| + C
Logo,
12,integral duu = 12,lnl|ur| + C

Passo 5

Voltando à variável x, como u=2+e^2x>0 para todo x, podemos remover o valor absoluto:
12,lnl|ur| + C = 12,lnl(2+e^2xr) + C

Resposta

integral e^2x,dx2+e^2x = 12,lnl(2+e^2xr) + C

Exercícios relacionados