Exercício 2. (Apostol, capítulo 8.5, exercícios 5 e 8)
Dê um exemplo de união de (infinitos) conjuntos fechados que não é fechada e interseção de (infinitos) conjuntos abertos que não é aberto.
Dê um exemplo de união de (infinitos) conjuntos fechados que não é fechada e interseção de (infinitos) conjuntos abertos que não é aberto.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas clássicas de topologia em
: (i) um exemplo de união infinita de conjuntos fechados que não é fechada e (ii) um exemplo de interseção infinita de conjuntos abertos que não é aberta. Vamos usar o fato de que união arbitrária de fechados pode falhar ser fechada e interseção arbitrária de abertos pode falhar ser aberta, construindo exemplos bem conhecidos.
Passo 2
Definimos para cada
o conjunto
Cada
é um intervalo fechado em
, logo é um conjunto fechado.
Passo 3
A união infinita é
Mas
não é fechado em
porque seu complemento
não é aberto (ela deixa de conter o ponto de borda
). Assim a união dos
falha ser fechada.
Passo 4
Agora para a interseção de abertos, definimos para cada
Cada
é um intervalo aberto, logo aberto em
.
Passo 5
A interseção infinita é
Mas
não é aberto em
(não existe um pequeno intervalo aberto em torno de
contido em
). Portanto a interseção dos
falha ser aberta.
Resposta
Exemplo de união infinita de fechados não fechada:
Exemplo de interseção infinita de abertos não aberta: