Exercício 2. (Apostol, capítulo 8.5, exercícios 5 e 8)
Dê um exemplo de união de (infinitos) conjuntos fechados que não é fechada e interseção de (infinitos) conjuntos abertos que não é aberto.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas clássicas de topologia em R: (i) um exemplo de união infinita de conjuntos fechados que não é fechada e (ii) um exemplo de interseção infinita de conjuntos abertos que não é aberta. Vamos usar o fato de que união arbitrária de fechados pode falhar ser fechada e interseção arbitrária de abertos pode falhar ser aberta, construindo exemplos bem conhecidos.

Passo 2

Definimos para cada ninN o conjunto
An = lxinRmid 0<= x <= 1 - tfrac1nr
Cada An é um intervalo fechado em R, logo é um conjunto fechado.

Passo 3

A união infinita é
cupn=1^infty An = l[0,1-tfrac11r];cup;l[0,1-tfrac12r];cup;cdots = [0,1)
Mas [0,1) não é fechado em R porque seu complemento (-infty,0)cup[1,infty) não é aberto (ela deixa de conter o ponto de borda 1). Assim a união dos An falha ser fechada.

Passo 4

Agora para a interseção de abertos, definimos para cada ninN
Un = l(-tfrac1n,;tfrac1nr)
Cada Un é um intervalo aberto, logo aberto em R.

Passo 5

A interseção infinita é
capn=1^infty Un = l(-1,1r);cap;l(-tfrac12,tfrac12r);cap;cdots = 0
Mas 0 não é aberto em R (não existe um pequeno intervalo aberto em torno de 0 contido em 0). Portanto a interseção dos Un falha ser aberta.

Resposta

Exemplo de união infinita de fechados não fechada:
An = l[0,,1 - tfrac1nr], cupn=1^infty An = [0,1)
Exemplo de interseção infinita de abertos não aberta:
Un = l(-tfrac1n,,tfrac1nr), capn=1^infty Un = 0

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