Exercício 2. (Apostol, capítulo 8.5, exercícios 5 e 8)
Mostre que
é aberto e fechado.
Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
, com a distância usual, é ao mesmo tempo aberto e fechado.
Conteúdo: definição de conjunto aberto em espaço métrico (todo ponto tem uma bola contida no conjunto) e definição de conjunto fechado (complemento aberto).
Conteúdo: definição de conjunto aberto em espaço métrico (todo ponto tem uma bola contida no conjunto) e definição de conjunto fechado (complemento aberto).
Passo 2
Para ver que
é aberto, fixamos um ponto arbitrário
. Escolhendo qualquer raio
, a bola aberta
satisfa z
, pois todo
com
permanece em
. Assim todo
é ponto interior, logo
é aberto.
Passo 3
Para ver que
é fechado, basta notar que seu complementar em
é o conjunto vazio
. Mas
é aberto por definição (não há pontos para violar a condição de abertura). Logo o complementar de
é aberto, e portanto
é fechado.