Exercício 2. (Apostol, capítulo 8.5, exercícios 5 e 8)
Mostre que R^n é aberto e fechado.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que R^n, com a distância usual, é ao mesmo tempo aberto e fechado.
Conteúdo: definição de conjunto aberto em espaço métrico (todo ponto tem uma bola contida no conjunto) e definição de conjunto fechado (complemento aberto).

Passo 2

Para ver que R^n é aberto, fixamos um ponto arbitrário xinR^n. Escolhendo qualquer raio r>0, a bola aberta
B(x,r)=,yinR^n:|y-x|<r
satisfa z B(x,r)subseteqR^n, pois todo y com |y-x|<r permanece em R^n. Assim todo x é ponto interior, logo R^n é aberto.

Passo 3

Para ver que R^n é fechado, basta notar que seu complementar em R^n é o conjunto vazio emptyset. Mas emptyset é aberto por definição (não há pontos para violar a condição de abertura). Logo o complementar de R^n é aberto, e portanto R^n é fechado.

Resposta

R^n é aberto e fechado.

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