Exercício 2. (Apostol, capítulo 5.5, exercícios 5 e 6)
Seja T: C([0,1]) C([0,1]) uma transformação linear dada por T f(x)=integral0^x f(t) d t, em que C([0,1]) é o espaço vetorial das funções reais contínuas com produto interno lang<= f, grang<==integral0^1 f(t) g(t) d t. Mostre que existe o operador adjunto e T^*=-T.

Passo 1

O enunciado define uma aplicação linear
T: C([0,1])to C([0,1]), (Tf)(x)=integral0^xf(t),dt
num espaço de funções contínuas com produto interno
lang<= f,grang<==integral0^1f(t),g(t),dt
Queremos mostrar que T^* existe e encontrá-lo, ou seja, achar um operador T^* tal que
lang<= Tf,grang<==lang<= f,T^*grang<=
para todos f,gin C([0,1]).

Passo 2

Calculemos
lang<= Tf,grang<= =integral0^1l(integral0^xf(t),dtr),g(x),dx
Usando o Teorema de Fubini em domínio triangular (t,x):0<= t<= x<=1, invertemos a ordem de integração:
integral0^1integral0^xf(t),dt;g(x),dx =integral0^1integralt^1g(x),dx;f(t),dt

Passo 3

Do passo anterior obtemos
lang<= Tf,grang<= =integral0^1f(t),l(integralt^1g(x),dxr),dt =lang<= f,hrang<=,
onde
h(t)=integralt^1g(x),dx
Pelo critério de existência de adjunto, isso mostra que T^* existe e é dado por
(T^*g)(x)=integralx^1g(t),dt

Passo 4

Comparemos agora T^* com -T. Note que
integralx^1g(t),dt =integral0^1g(t),dt;-integral0^xg(t),dt =lang<= g,1rang<= - (Tg)(x)
Em particular, se restringirmos T ao subespaço
V=lgin C([0,1]):integral0^1g(t),dt=0r,
então lang<= g,1rang<==0 para todo gin V e fica
(T^*g)(x)=-integral0^xg(t),dt=-(Tg)(x)

Resposta

O adjunto existe e é
(T^*g)(x)=integralx^1g(t),dt
Além disso, sobre o subespaço g:integral0^1g=0, verifica-se que
T^*=-T

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