Exercício 2. (Apostol, capítulo 5.5, exercícios 5 e 6)
Seja
uma transformação linear dada por
, em que
é o espaço vetorial das funções reais contínuas com produto interno
. Mostre que existe o operador adjunto e
.
Seja
Passo 1
O enunciado define uma aplicação linear
num espaço de funções contínuas com produto interno
Queremos mostrar que
existe e encontrá-lo, ou seja, achar um operador
tal que
para todos
.
Passo 2
Calculemos
Usando o Teorema de Fubini em domínio triangular
, invertemos a ordem de integração:
Passo 3
Do passo anterior obtemos
onde
Pelo critério de existência de adjunto, isso mostra que
existe e é dado por
Passo 4
Comparemos agora
com
. Note que
Em particular, se restringirmos
ao subespaço
então
para todo
e fica
Resposta
O adjunto existe e é
Além disso, sobre o subespaço
, verifica-se que