Identifique e esboce o traço de cada superfície parametrizada, indicando as respectivas curvas coordenadas.
g(u, v)=(cosh v cos u, cosh v sen u, v), 0<u<2 pi e v in R.

Passo 1

O enunciado nos dá a parametrização
g(u,v)=l(cosh vcos u,;cosh vsin u,;vr), 0<u<2pi,;vinR,
e pede para identificar e esboçar os traços obtidos mantendo cada parâmetro fixo, bem como nomear essas curvas coordenadas. Vamos usar o fato de que, para superfícies de revolução, as curvas u=const (meridianos) são geratrizes e as curvas v=const (paralelos) são círculos.

Passo 2

Traço paralelo ( v=v0 fixo):
g(u,v0)=l(cosh v0cos u,;cosh v0sin u,;v0r),
para 0<u<2pi.
Isto é um círculo de raio cosh v0 no plano horizontal z=v0.
Esboço (vista lateral e superior):
— Vista de cima: um círculo de raio cosh v0.
— Vista de perfil: um ponto no nível z=v0, pois todos os pontos têm essa mesma altura.

Passo 3

Traço meridiano ( u=u0 fixo):
g(u0,v)=l(cosh vcos u0,;cosh vsin u0,;vr),
com vinR.
Esse traço está contido no plano que passa pela reta (x,y,z):xsin u0-ycos u0=0. Nele, podemos escrever
r(v)=l(cosh v,;vr)
no sistema de coordenadas do plano, ou seja, é a curva x=cosh z, uma catenária.
Esboço (vista lateral no próprio plano):
— Um “U” suave que atinge mínimo em z=0 com x=cosh0=1 e cresce exponencialmente para ztopminfty.

Passo 4

Resumo dos traços e curvas coordenadas:
  • Paralelos ( v= constante): círculos de raio cosh v0 em planos z=v0.
  • Meridianos ( u= constante): catenárias x=cosh z em planos radiais.

Resposta

Traços paralelos ( v=v0): círculos x^2+y^2=cosh^2v0,;z=v0.
Traços meridianos ( u=u0): catenárias (x,z):x=cosh z em planos que contêm o eixo z.

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