Identifique e esboce o traço de cada superfície parametrizada, indicando as respectivas curvas coordenadas.
.
Passo 1
O enunciado nos dá a parametrização
e pede para identificar e esboçar os traços obtidos mantendo cada parâmetro fixo, bem como nomear essas curvas coordenadas. Vamos usar o fato de que, para superfícies de revolução, as curvas
(meridianos) são geratrizes e as curvas
(paralelos) são círculos.
Passo 2
Traço paralelo (
fixo):
para
.
Isto é um círculo de raio no plano horizontal
.
Isto é um círculo de raio
Esboço (vista lateral e superior):
— Vista de cima: um círculo de raio .
— Vista de perfil: um ponto no nível , pois todos os pontos têm essa mesma altura.
— Vista de cima: um círculo de raio
— Vista de perfil: um ponto no nível
Passo 3
Traço meridiano (
fixo):
com
.
Esse traço está contido no plano que passa pela reta . Nele, podemos escrever
Esse traço está contido no plano que passa pela reta
no sistema de coordenadas do plano, ou seja, é a curva
, uma catenária.
Esboço (vista lateral no próprio plano):
— Um “U” suave que atinge mínimo em com
e cresce exponencialmente para
.
— Um “U” suave que atinge mínimo em
Passo 4
Resumo dos traços e curvas coordenadas:
- Paralelos (
constante): círculos de raio em planos . - Meridianos (
constante): catenárias em planos radiais.
Resposta
Traços paralelos (
): círculos
.
Traços meridianos ( ): catenárias
em planos que contêm o eixo
.
Traços meridianos (