Identifique e esboce o traço de cada superfície parametrizada, indicando as respectivas curvas coordenadas.
.
Passo 1
O enunciado nos dá a parametrização
e pede para aceitarmos os trace (as interseções) da superfície com planos do tipo
constante,
constante e também com planos horizontais
constante, indicando as curvas coordenadas que aparecem.
Passo 2
Vamos primeiro achar a equação cartesiana. Como
temos
ou seja, é o meio-cone superior de eixo
(cone reto
).
Passo 3
Traço em
: intersectamos com o plano vertical
. Substituindo em
dá
A curva coordenada resultante é
que no plano
aparece como meia-hipérbole (só com
).
Passo 4
Traço em
: agora o plano vertical
. De forma análoga surge
e a curva coordenada é
outra meia-hipérbole contida no plano
.
Passo 5
Traço em
: intersectamos com o plano horizontal
. Da equação
vem o círculo de raio
. Uma parametrização dessa curva é
Esse círculo é a seção horizontal do cone a altura
.
Resposta
As curvas coordenadas (traces) da superfície
são:
Para :
Para
meia-hipérbole em
.
Para :
Para
meia-hipérbole em
.
Para :
Para
círculo de raio
em
.
Esboço qualitativo: as secções verticais são metades de hipérboles e as horizontais são círculos, mostrando o cone .
Esboço qualitativo: as secções verticais são metades de hipérboles e as horizontais são círculos, mostrando o cone