Identifique e esboce o traço de cada superfície parametrizada, indicando as respectivas curvas coordenadas.
f(u, v)=(u, v, raizu^2+v^2), u, v in R.

Passo 1

O enunciado nos dá a parametrização
f(u,v) = (u,;v,;raizu^2+v^2), (u,v)inR^2,
e pede para aceitarmos os trace (as interseções) da superfície com planos do tipo u= constante, v= constante e também com planos horizontais z= constante, indicando as curvas coordenadas que aparecem.

Passo 2

Vamos primeiro achar a equação cartesiana. Como
x = u, y = v, z = raizu^2+v^2,
temos
z^2 = x^2 + y^2, z>= 0,
ou seja, é o meio-cone superior de eixo z (cone reto z^2=x^2+y^2).

Passo 3

Traço em u=u0: intersectamos com o plano vertical x=u0. Substituindo em z^2=x^2+y^2
z = raizu0^2 + y^2
A curva coordenada resultante é
betau0(v) = l(u0,;v,;raizu0^2+v^2r), vinR,
que no plano x=u0 aparece como meia-hipérbole (só com z>=0).

Passo 4

Traço em v=v0: agora o plano vertical y=v0. De forma análoga surge
z = raizx^2 + v0^2,
e a curva coordenada é
alphav0(u) = l(u,;v0,;raizu^2+v0^2r), uinR,
outra meia-hipérbole contida no plano y=v0.

Passo 5

Traço em z=z0: intersectamos com o plano horizontal z=z0. Da equação
z0^2 = x^2 + y^2
vem o círculo de raio |z0|. Uma parametrização dessa curva é
gammaz0(t) = l(z0cos t,;z0sin t,;z0r), tin[0,2pi)
Esse círculo é a seção horizontal do cone a altura z0.

Resposta

As curvas coordenadas (traces) da superfície f(u,v) são:
Para u=u0:
betau0(v) = l(u0,;v,;raizu0^2+v^2r),
meia-hipérbole em x=u0.
Para v=v0:
alphav0(u) = l(u,;v0,;raizu^2+v0^2r),
meia-hipérbole em y=v0.
Para z=z0:
gammaz0(t) = l(z0cos t,;z0sin t,;z0r),
círculo de raio |z0| em z=z0.
Esboço qualitativo: as secções verticais são metades de hipérboles e as horizontais são círculos, mostrando o cone z^2=x^2+y^2,;z>=0.

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