Exercício 9. (Apostol, capítulo 8.9, exercícios 1 a 3) Seja f: R^n R, x in R^n, v in R^n, a in R^n e T: R^n R^n uma transformação linear.
Calcule partial fpartial v(x) para f(x)=lang<= a, xrang<=.

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
fcolon R^n to R, f(x)=lang<= a,xrang<=
na direção do vetor vinR^n. Vamos usar a definição de derivada direcional.

Passo 2

A derivada direcional de f em x na direção v é dada por
partial fpartial v(x) =limtto 0f(x+tv)-f(x)t

Passo 3

Calculamos
f(x+tv)=lang<= a,,x+tvrang<= =lang<= a,xrang<= +t,lang<= a,vrang<=,
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f(x+tv)-f(x)=t,lang<= a,vrang<=

Passo 4

Dividindo por t e fazendo tto0 vem
f(x+tv)-f(x)t =lang<= a,vrang<= Longrightarrow partial fpartial v(x)=lang<= a,vrang<=

Resposta

partial fpartial v(x)=lang<= a,vrang<=

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