Exercício 9. (Apostol, capítulo 8.9, exercícios 1 a 3) Seja f: R^n R, x in R^n, v in R^n, a in R^n e T: R^n R^n uma transformação linear.
Calcule partial fpartial v(x) para f(x)=|x|^4.

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional partial fpartial v(x) para a função
f(x)=|x|^4,
onde |x|^2=lang<= x,xrang<=. Vamos usar a definição de derivada direcional e a regra da cadeia para achar esse valor.

Passo 2

Por definição, a derivada direcional de f em x na direção v é
partial fpartial v(x) =limtto0f(x+tv)-f(x)t
Para simplificar, considere a função auxiliar
g(t)=f(x+tv)
Então
partial fpartial v(x)=g'(0)

Passo 3

Como
f(x)=|x|^4=llang<= x,xrrang<=^2,
temos
g(t) =llang<= x+tv,,x+tvrrang<=^2
Defina u(t)=lang<= x+tv,x+tvrang<=. Então g(t)=u(t)^2 e, pela regra da cadeia,
g'(t)=2,u(t),u'(t)
Mas
u'(t) =2,llang<= x+tv,,vrrang<=,
logo, em t=0:
g'(0) =2,|x|^2cdot2,lang<= x,vrang<= =4,|x|^2,lang<= x,vrang<=

Resposta

partial fpartial v(x) =4,|x|^2,lang<= x,vrang<=

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