Problema 08 Ache as interseções das funções quadráticas f(x)=x^2-1 e g(x)=-x^2+x e esboce seus gráficos no mesmo sistema de eixo.

Passo 1

O enunciado nos dá duas funções quadráticas
f(x)=x^2-1 (parábola voltada para cima) e
g(x)=-x^2+x (parábola voltada para baixo)
e pede ( 1) as interseções entre elas e ( 2) um esboço de ambas num mesmo sistema de eixos. Para isso vamos usar (i) resolução de equação quadrática para achar interseções e (ii) propriedades de vértice, concavidade e interceptos para esboçar as parábolas.

Passo 2

Para achar as interseções igualamos
f(x)=g(x)
ou seja
x^2-1 ;=;-x^2+x
Passando tudo para um lado:
2x^2-x-1=0
Calculamos o discriminante
De<a = (-1)^2-4cdot2cdot(-1)=1+8=9
e as raízes
x = 1pmraiz94 = 1pm34
Logo
x1=1+34=1, x2=1-34=-tfrac12
Os y correspondentes são
y1=f(1)=1^2-1=0, y2=fl(-tfrac12r)=tfrac14-1=-tfrac34
Portanto as interseções são (1,0) e l(-tfrac12,-tfrac34r).

Passo 3

Analisando f(x)=x^2-1:
bul<=t Vértice em x=0, f(0)=-1, ou seja (0,-1).
bul<=t Abre para cima (coeficiente de x^2 positivo).
bul<=t Intercepto em y é (0,-1) e interceptos em x são soluções de x^2-1=0, ou seja (1,0) e (-1,0).

Passo 4

Analisando g(x)=-x^2+x:
bul<=t Vértice em x=-tfracb2a=-tfrac12(-1)=tfrac12,
g(tfrac12)=-tfrac14+tfrac12=tfrac14, ou seja l(tfrac12,tfrac14r).
bul<=t Abre para baixo (coeficiente de x^2 negativo).
bul<=t Intercepto em y é g(0)=0 e interceptos em x vêm de -x^2+x=0, ou seja (0,0) e (1,0).

Passo 5

Para esboçar no mesmo sistema:
1. Desenhe eixos cartesianos.
2. Marque o vértice de f em (0,-1) e de g em l(tfrac12,tfrac14r).
3. Trace a parábola de f abrindo para cima, passando por (-1,0) e (1,0).
4. Trace a parábola de g abrindo para baixo, passando por (0,0) e (1,0).
5. Destaque os pontos de interseção (1,0) e l(-tfrac12,-tfrac34r).

Resposta

As interseções são
(1,0)el(-tfrac12,-tfrac34r)

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